Ideal, Primideal

14.11.2008, 21:41

karlkarl

Ideal, Primideal

Abend,

ich komme bei eine Aufgabe gar nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen.

Voraussetzungen:
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl, und $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ eine p-te Einheitswurzel, sowie $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta)} \end{eqnarray*}$ der Ganzheitsring. Außerdem darf benutzt werden, dass das von p erzeugte Ideal $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ höchstens in $\begin{eqnarray*} p-1 = [\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta)}:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ Primideale zerfällt.

Aufgabe:
Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} (p) = (1-\zeta)^{p-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar. Z.B. ist mir nicht klar, wie man die Einheitswurzel hier verwendet. Also genauer gesagt fehlt mir momentan jeder Ansatz unglücklich

15.11.2008, 11:03

therisen

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RE: Ideal, Primideal

Zitat:

Original von karlkarl
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl, und $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ eine p-te Einheitswurzel

Die Einheitswurzel ist nicht zufällig primitiv oder?

Zitat:

Original von karlkarl
höchstens in $\begin{eqnarray*} p-1 = [\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta)}:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ Primideale zerfällt.

Nur aus Neugierde: Wie ist $\begin{eqnarray*} [\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta)}:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ definiert? Ich kenne diese Schreibweise nur für Körpererweiterungen.

15.11.2008, 12:04

karlkarl

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Ja, die Einheitswurzel ist primitiv. Sorry, das hatte ich vergessen hinzuschreiben.

Das $\begin{eqnarray*} [\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta)}:\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ haben wir noch nicht definiert, ich kann es nur interpretieren. Es ist so, dass unsere Übungen Grundlagen für die Vorlesung legen. Vermutlich werden wir die Schreibweise demnächst einführen.

Leider habe ich immer noch keine Idee. Mir ist noch eingefallen, dass $\begin{eqnarray*} \zeta^m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \leq m \leq p-1 \end{eqnarray*}$ Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{p-1} X^k \end{eqnarray*}$ sind. Für X=1 hätte man dann schonmal $\begin{eqnarray*} p = \prod_{k=1}^{p-1} (1-\zeta^k) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2008, 12:27

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} \zeta' \end{eqnarray*}$ eine weitere primitive p-te Einheitswurzel. Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta'}{1-\zeta} \end{eqnarray*}$ eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\zeta] \end{eqnarray*}$ (Nachrechnen!). Es bezeichne $\begin{eqnarray*} \Phi_p \end{eqnarray*}$ das p-te Kreisteilungspolynom. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} p=\Phi_p(1)=\prod(1-\zeta')=\prod\frac{1-\zeta'}{1-\zeta}(1-\zeta)=a(1-\zeta)^{p-1} \end{eqnarray*}$ mit einer Einheit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z[\zeta] \end{eqnarray*}$ . Verwende nun, dass $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ in höchstens $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Primideale zerfällt.

15.11.2008, 18:54

karlkarl

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Hallo,

vielen Dank erstmal.

Also was du geschrieben hast kann ich nachvollziehen. Aber für den letzten Schluß muss ich doch wissen, dass $\begin{eqnarray*} (1-\zeta) \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist - oder ist das schon a priori klar? Irgendwie fehlt mir da noch der richtige Durchblick...

15.11.2008, 19:14

therisen

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Nein, das ist (noch) nicht klar. Angenommen, es wäre kein Primideal. Was könntest du dann über die Anzahl der Primideale in der Primidealzerlegung von $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ aussagen?

15.11.2008, 19:23

karlkarl

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Könnte ich dann $\begin{eqnarray*} (1-\zeta) \end{eqnarray*}$ wiederum in Primideale zerlegen und hätte demnach $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ in insgesamt mehr als p-1 Primideale zerlegt?

15.11.2008, 22:41

therisen

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Genau.

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