Konvergenzbeweis auf Basis konvergenter Folgen

15.11.2008, 17:01	gwenilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis auf Basis konvergenter Folgen Ich knoble nun schon seit Tagen an folgender Aufgabe: Ich habe hier nun die Regel $\begin{eqnarray} \lim {\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}} \end{eqnarray}$ angewand und bin damit und mit Ausklammern von $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ auf folgende Gleichung für $\begin{eqnarray} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{eqnarray}$ gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{3 + \frac{5}{n} + \frac{4}{n^{2}}}{4 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}} \end{eqnarray}$ Daraus habe ich den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim {\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{3}{4}} \end{eqnarray}$ bestimmt. Mein Problem liegt jetzt beim Beweis der Konvergenz. Ich weiß einfach nicht, wo ich genau dabei ansetzen soll. Ein bisschen Hilfe wäre super - Danke schon im Voraus.
15.11.2008, 17:21	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder du musst es ziemlich mühsam mit der Definition der Konvergenz zeigen, oder etwas weniger mühsam mit der Definition, aber du nutzt eine Majorante oder am wenigsten mühsam mit den Grenzwertsätzen, denn dann reicht das schon als Beweis was du gemacht hast.
15.11.2008, 18:03	gwenilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der uns gegebenen Definition der Grenzwertsätze die Konvergenz von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ als Bedingung vorausgeht, muss ich die noch extra beweisen. Hier denke ich, werde ich nicht um einen Beweis mittels der Definition von Konvergenz herumkommen - u.a. weil wir Majoranten noch nicht eingeführt haben und mir die somit auch noch nichts sagen. Das hieße ja dann glaube ich, dass ich folgendes mit den in der Definition angegebenen Kriterien checken müsste: $\begin{eqnarray} \|a_{n} - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|3n^{2} + 5n + 4 - 3\| < \epsilon \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|3n^{2} + 5n + 1\| < \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|b_{n} - b\| < \epsilon \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|4n^{2} + 2n + 1 - 4\| < \epsilon \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|4n^{2} + 2n - 3\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Liege ich soweit richtig?
15.11.2008, 19:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbeweis auf Basis konvergenter Folgen Nein du liegst falsch. Du musst nur $\begin{eqnarray} \left\|a_{n} := \frac{3n^{2} + 5n + 4}{4n^{2} + 2n + 1}-\frac{3}{4}\right\| \end{eqnarray}$ betrachten. Beachte: Deine Notation ist nicht sehr glücklich gewählt. Einerseits bezeichnet $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ die in der Aufgabe gegebene Folge, andererseits eine neue Folge, die "Zählerfolge".
15.11.2008, 19:27	gwenilein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbeweis auf Basis konvergenter Folgen Das Problem mit der Notation ist mir auch aufgefallen - aber zu spät, denn da konnte ich es schon nicht mehr ändern. Okay, also muss ich quasi die ursprüngliche Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ hier wieder betrachten: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{3n^{2} + 5n + 4}{4n^{2} + 2n + 1}-\frac{3}{4}\right\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Soweit komme ich mit, nur hier weiß ich dann nicht, was ich als nächstes tun soll. Ich könnte den Teil in den Betragsstrichen verrechnen, weiß aber nicht, ob mich das hier weiterbringt. Kurzum: An dieser Stelle bin ich hilflos und weiß den Beweis nicht weiter zu führen
15.11.2008, 19:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Deshalb wären die Grenzwertsätze hilfreich Einer davon sagt, dass wenn man zwei Folgen $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ hat, beide konvergent gegen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\neq0 \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{c_n}=\frac{b}{c} \end{eqnarray}$ . Das ist insofern hilfreich, denn du hattest deine Folge ja schon passend umgeformt, dass der Zähler und der Nenner getrennt konvergent waren. Dann sagt der Grenzwertsatz das was du auch sagtest, nämlich $\begin{eqnarray} a_n\to\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . Wenn ihr den Satz bewiesen habt, dann darfst du den auch nutzen und hast alles bewiesen. Musst du allerdings unbedingt über die Definition gehen, dann musst du wohl oder übel $\begin{eqnarray} \left\|\frac{3n^2+5n+4}{4n^2+2n+1}-\frac{3}{4}\right\| \end{eqnarray}$ betrachten. Fange dann so an: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig vorgegeben. Dann ist $\begin{eqnarray} \left\|\frac{3n^2+5n+4}{4n^2+2n+1}-\frac{3}{4}\right\|\leq ...<\epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gross genug. Das Problem besteht die Pünktchen auszufüllen, denn das wird wohl ziemlich mühsam sein [ich habs nicht versucht ].
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15.11.2008, 20:11	gwenilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, du hast mir grade mächtig weitergeholfen Ich habe mir die uns gegebene Definition noch mal genau durchgelesen. Das ich Zähler und Nenner je zu einer konvergenten Folge schon umgeformt hatte, war mir irgendwie nicht so offensichtlich aufgefallen. Aber ja klar, jetzt fällt es mir auch auf - damit hab ich die Konvergenz der Folge ja bewiesen und das besagt ja auch einer der Grenzwertsätze. VIELEN DANK!!!

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