Parameterdarstellung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

28.08.2006, 18:39

SpecialK

Parameterdarstellung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Moin Leute,

Folgende Aufgabe check ich nich!

Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} Y= \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ rotiere um die x-Achse und bilde damit im Intervall $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 6 \end{eqnarray*}$ einen Drehkörper. Finden Sie eine Parameterdarstellung der Mantelfläche des Drehkörpers.

Die Klausurlösung unseres Profs lautet:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}((t) \gamma )= \begin{pmatrix} t \\ \sqrt{x} cos\gamma \\ \sqrt{x} sin\gamma \end{pmatrix} ; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq t \leq 6; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \gamma \leq 2\pi; \end{eqnarray*}$

(anstatt gamma hieß der Winkel bei ihm "Phi", den hab ich hier aber nich gefunden beim Formeleditor)

Kann jemand was mit der Aufgabe anfangen? Ich kann den Rotationskörper noch im Intervall zeichnen, dann komm ich aber schon nich mehr weiter, werd auch aus seiner Lösung nich schlau, wäre über jeden Tipp dankbar!!!

Tanzen

SpecialK

edit(20_Cent): Latex Tags hinzugefügt.

code:
1:	\phi

ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

code:
1:	\varphi

ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

und

code:
1:	\Phi

ist $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$

28.08.2006, 20:31

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RE: Parameterdarstellung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Zitat:

Original von SpecialK
$\begin{eqnarray*} \vec{x}((t) \gamma )= \begin{pmatrix} t \\ \sqrt{x} cos\gamma \\ \sqrt{x} sin\gamma \end{pmatrix} ; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq t \leq 6; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \gamma \leq 2\pi; \end{eqnarray*}$

Was hat das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da noch drin zu suchen? Gemeint war wohl eher

$\begin{eqnarray*} \vec{x}(t,\gamma )= \begin{pmatrix} t \\ \sqrt{t} \cos\gamma \\ \sqrt{t} \sin\gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.08.2006, 20:35

SpecialK

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Ja genau, sorry wollte das gerade ändern!

Super jetzt stimmt alles, danke, ich kann das aber nich nachvollziehen, fehlt da nicht der komplette Lösungsweg?
Wie komm ich auf die Ergebnisse, schreibe nämlich bald die Matheklausur und hab noch echte defizite :-(

28.08.2006, 20:45

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Eigentlich musst du nur die (x,r)-Parametrisierung $\begin{eqnarray*} (x,r)=(t,\sqrt{t}) \end{eqnarray*}$ mit der Kreisparametrisierung $\begin{eqnarray*} (y,z)=(r\cos\gamma,r\sin\gamma) \end{eqnarray*}$ geeignet kombinieren:

Schneide nämlich deinen Paraboloiden (das ist es nämlich) mal mit einer Ebene x=t=const. Dann entsteht - wenig verwunderlich bei so einem Rotationskörper - ein Kreis vom Radius $\begin{eqnarray*} r=f(t)=\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ .

28.08.2006, 21:09

SpecialK

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Sorry aber woher weiß ich denn das ich die (x,r) Parametersierung mit der Kreisparametersierung kombinieren muss? Ich versteh die Parameterdarstellung leider nicht...

Parameterdarstellung heißt doch einen rotierende Fläche, Kurve o.ä. in Abhängigkeit mit der Zeit bringen, aber was ist der erste Schritt, wie ich an die Aufgabe herangehen muss?

Ich hab auch schon im Papula nachgeschlagen, finde dort aber nur "parameterdarstellung einer Funktion u. Ebene" muss ich da ansetzen? Unserer Prof hat das nicht erklärt, sondern nur abstrakt an die tafel gebracht... unglücklich

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