Folge, rekursiv definiert, Beschränkung und Monotonie durch vollständige Induktion

15.11.2008, 18:02

Math.Question

Folge, rekursiv definiert, Beschränkung und Monotonie durch vollständige Induktion

Hallo,

folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} b_1= 1/4 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} b_{n+1} = (b_n)^2 + 1/4 \end{eqnarray*}$

Es soll durch vollständige Induktion nachgewiesen werden, dass

$\begin{eqnarray*} 0< b_n < 1/2 \end{eqnarray*}$

ist....

Irgendwie fehlt mir hier aber komplett der Ansatz.
Diskret gesehen, würde die Formel für z.B. b_3 lauten:
$\begin{eqnarray*} b_3= ((b_1)^2 + 1/4)^2 + 1/4 \end{eqnarray*}$ .

Aber da bekomme ich kein "n" rein........
Das Problem ist letztlich, dass ich bis dato nur Induktionen bei Formeln vorgenommen habe, wo das "n" selbst Bestandteil der Formel war, und nicht nur Index.

Kann mir hier irgend jemand mal zu einer "Initialzündung" verhelfen?

MfG
Math.Question

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

15.11.2008, 19:18

klarsoweit

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RE: Folge, rekursiv definiert, Beschränkung und Monotonie durch vollständige Induktion
Beide Beweise sind Einzeiler.

Für den Beweis von $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung und du mußt zeigen, daß dann auch $\begin{eqnarray*} b_{n+1} > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Forme dazu die Ungleichung $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ so um, daß auf der linken Seite das $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ entsteht.

15.11.2008, 21:22

Math.Question

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Hallo,
danke für die Antwort, aber darum, dass $\begin{eqnarray*} b_n > 0 \end{eqnarray*}$ ging es mir weniger, sondern um den Beweis, dass $\begin{eqnarray*} b_n < 1/2 \end{eqnarray*}$ ist, da ist das Problem (ich bitte um Entschuldigung, hatte vergessen das zu erwähnen).
Nur weil b_(n-1) < 1/2 ist, muss das noch lange nicht für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gelten, oder?
Irgendwie habe ich das Gefühl, ich sehe hier etwas ganz entscheidendes nicht.... verwirrt

MfG
Math.Quest

PS: was habe ich beim Latex falsch gemacht bzw. was sollte ich anders machen (bin damit noch nicht sooo vertraut)?

16.11.2008, 01:44

Soz.Päd.

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Widerspruchsbeweis:

Angenommen, es gäbe ein b(n) mit b(n) >= 0.5. Dabei sei n minimal bezüglich dieser Eigenschaft. Dann ist n>=2 , da b(1) = 0.25. Also:
0.5 <= b(n) = (b(n-1))^2 + 0.25
Also b(n-1) >= (0.25)^0.5 = 0.5 (Man beachte, dass b(n-1) >= 0).
Also wäre bereits b(n-1) >= 0.5, was ein Widerspruch bezüglich der Wahl von n wäre.

Gruß
Soz.Päd.

16.11.2008, 10:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Math.Question
Nur weil b_(n-1) < 1/2 ist, muss das noch lange nicht für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gelten, oder?

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} b_n < \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} b_{n+1} = b_n^2 + \frac 1 4 < (\frac 1 2)^2 + \frac 1 4 = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: ein Einzeiler. smile

16.11.2008, 16:48

Math.Question

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Hallo,
vielen Dank!!
Jetzt hat es klick! gemacht: der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ ist ja quasi gegeben, ich glaubte als, man müsse erst mal zeigen, wohin die Folge überhaupt konvergiert bzw. dass sie sich überhaupt Richtung $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ bewegt. Dabei stand davon nichts in der Aufgabenstellung Hammer

.
Weil das kann ich ja, wenn ich nicht Besitzer eines "mathematischen Auges" Augenzwinkern

bin, letztlich doch nur durch das Einsetzen von Werten ermitteln.

Beweist wieder mal, das die größten Probleme beim mathematischen Verständnis hausgemacht, Marke "Missverständnis", sind.......

MfG
Math.Question

16.11.2008, 16:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Math.Question
Jetzt hat es klick! gemacht: der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ ist ja quasi gegeben, ich glaubte als, man müsse erst mal zeigen, wohin die Folge überhaupt konvergiert bzw. dass sie sich überhaupt Richtung $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ bewegt.

Das hast du leider nicht richtig verstanden. Von einem gegebenen Grenzwert ist nirgendwo die Rede und davon habe ich auch nirgendwo Gebrauch gemacht. Die Sache ist üblicherweise umgekehrt: Man zeigt, daß eine Folge monoton und beschränkt ist. Daraus folgt erst die Konvegenz.

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