Größte Steigung / stärkstes Gefälle gesucht |
| 15.11.2008, 19:32 | d77p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Größte Steigung / stärkstes Gefälle gesucht Nun soll ich die beiden Punkte ermitteln, in denen die größte Steigung bzw. das stärkste Gefälle erreicht wird. Wie kann ich da herangehen? |
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| 15.11.2008, 19:40 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dafür musst du die Extremstellen der ersten Ableitung berechnen. (Also notwendige Bedingung: zweite Ableitung = 0; hinreichende Bedingung: dritte Ableitung ungleich 0) zu den Ableitungsregeln: f(x)=u*v f'(x)=u'*v+u*v' und f(x)=g(h(x)) f'(x)=h'(x)*g'(x) |
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| 15.11.2008, 19:48 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte berichtige die Kettenregel. |
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| 15.11.2008, 19:58 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldigung, selbstverständlich meinte ich mit g'(x) die äußere Ableitung g'(h(x)), also f(x)=g(h(x)) f'(x)=h'(x)*g'(h(x)) |
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| 15.11.2008, 20:36 | d77p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1.Ableitung: 2.Ableitung: 3.Ableitung: Extremstellen der 1.Ableitung: Das sind dann ja auch die x-Werte der Wendepunkte. Wird in den Wendepunkten auch die größte Steigung bzw. das stärkste Gefälle erreicht? |
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| 15.11.2008, 20:55 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn der Wendepunkt kein Sattelpunkt ist, müsste am Wendepunkt auch die größte Steigung bzw. das stärkste Gefälle sein. |
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| 15.11.2008, 21:08 | d77p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Steigung ist bei der Funktion nur in den Punkten und gleich 0. Also sind die Wendepunkte definitiv die Punkte mit der größten Steigung bzw. dem stärksten Gefälle? |
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| 15.11.2008, 21:31 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die Krümmung darüber Auskunft gibt, ob die Steigung sinkt oder fällt, muss die Steigung ein lokales Extrema an einem Wendepunkt haben. |
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| 15.11.2008, 21:46 | d77p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich mir die Funktion nähe betrachte, dann sind die Wendepunkte nicht die Punkte mit der größten Steigung bzw. dem stärksten Gefälle. Edit (mY+): Links zu externem Bildcontainer gelöscht. Lade dein Bild statt dessen direkt ins Board hoch! [attach]9182[/attach] |
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| 15.11.2008, 21:56 | Q-fLaDeN | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Ich weiss auch nicht wie JdPL auf die Idee mit den Wendepunkten gekommen ist. Ich würde denjenigen Punkt P(x|f(x)) suchen, in dem die Steigung der Tangente maximal ist. Wie man hierbei vorgeht, kann ich dir aber auch noch nicht sagen :/ |
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| 15.11.2008, 21:56 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt; Das stärkste Gefälle ist im Punkt x= -unendlich (Deswegen habe ich auch lokales Extrema geschrieben) Am Anfang habe ich noch gar nicht von Wendepunkten gesprochen; Aber die Extrempunkte der Steigung fallen aufgrund der notwendigen und hinreichenden Bedingungen auf die Wendepunkte der Funktion |
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| 16.11.2008, 10:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es IST ein Wendepunkt! In den Wendepunkten nimmt die Steigung der Tangente ein Extremum an. Deswegen wird dort eben auch die 2. Ableitung Null. mY+ |
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| 16.11.2008, 12:30 | d77p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann doch aber eindeutig sehen, dass das stärkste Gefälle im 2. oder 3. Quadranten zu finden ist. Hier ist aber kein Wendepunkt. |
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| 16.11.2008, 12:44 | JdPL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei -unendlich ist ein Extremum der Steigung (Absoluter Tiefpunkt der 1.Ableitung)... Das hättest du auch sehen können, wenn du die erste Ableitung gezeichnet hättest! |
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| 16.11.2008, 18:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, die Aussage mit dem Wendepunkt gilt nur bei relativen Extrema der 1. Ableitung. Bei absoluten Extrema (bzw. Randextrema) muss das Defintionsintervall gegeben sein und daraufhin untersucht werden. mY+ |
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