m1,m2,m3 unabhängig =>(m1 v m2), m3 unabhängig

15.11.2008, 21:34

Ratatiki

m1,m2,m3 unabhängig =>(m1 v m2), m3 unabhängig

Versuche grade dieses zu Beweisen und rechne seit über 1 Std hin und her und im Kreis.

zZ ist ja:

P (M1 schnitt M2) = P(M1) * P(M2)
P (M1 schnitt M3) = P(M1) * P(M3)
P (M3 schnitt M2) = P(M3) * P(M2)

=>

P (M3 schnitt [M1 u M2]) = P(M3) * P([M1 u M2])

mein ansatz:

P (M3 schnitt [M1 u M2]) =
P ([M3 schnitt M1] u [M3 schnitt M2]) =
P [M3 schnitt M1] + P [M3 schnitt M2]) - P [M3 schnitt M1 schnitt M2]) =
P(M1)*P(M3) + P (M2)*P(M3) - P(M3)*P(M2|M3)*P(M1|[M3 schnitt M2])]=
P(M3)* [P(M1) + P (M2) - P(M2|M3)*P(M1|[M3 schnitt M2])]=
P(M3)* [P(M1) + P (M2) - P(M2) * P(M3) * P(M1|[M3 schnitt M2])]

Also muss ich es noch schaffen zu zeigen:

P(M2) * P(M3) * P(M1|[M3 schnitt M2])] = P (M1 schnitt M2), jedoch wie?

P(M3) * P([M1 u M2])

15.11.2008, 23:45

therisen

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Und jetzt das gleiche nochmal aber bitte in lesbarer Form.

16.11.2008, 16:19

der von oben

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lesbarer Form? was ist denn da nicht lesbar? ist doch alles geklammert, sogar mit runden und eckigen, wie soll ich das denn lesbarer schreiben???

16.11.2008, 16:23

der von oben

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hab jetzt mal "schnitt" durch das vereinigungssymbol (bzw stellvertretend n) ersetzt - habe sonst keine idee wie ich das noch besser schreiben könnte....

Versuche grade dieses zu Beweisen und rechne seit über 1 Std hin und her und im Kreis.

zZ ist ja:

P (M1 n M2) = P(M1) * P(M2)
P (M1 n M3) = P(M1) * P(M3)
P (M3 n M2) = P(M3) * P(M2)

=>

P (M3 n [M1 u M2]) = P(M3) * P([M1 u M2])

mein ansatz:

= P (M3 n [M1 u M2])
= P ([M3 n M1] u [M3 n M2])
= P [M3 n M1] + P [M3 n M2] - P [M3 n M1 n M2]
= P(M1)*P(M3) + P (M2)*P(M3) - P(M3)*P(M2|M3)*P(M1|[M3 n M2])
= P(M3)* [P(M1) + P (M2) - P(M2|M3)*P(M1|[M3 n M2])]
= P(M3)* [P(M1) + P (M2) - P(M2)*P(M3)*P(M1|[M3 n M2])}

Also muss ich es noch schaffen zu zeigen:

P(M2) * P(M3) * P(M1|[M3 n M2])] = P (M1 n M2), jedoch wie?

16.11.2008, 17:14

Mathespezialschüler

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Der Formeleditor könnte eine Hilfe sein. ; )

16.11.2008, 20:47

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@Ratatiki

Halte dich noch nicht so lange mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten auf, du kannst doch die vorausgesetzte Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,M_3 \end{eqnarray*}$ nutzen: Es ist

$\begin{eqnarray*} P(M_1\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_3) \\ P(M_2\cap M_3) &=& P(M_2)P(M_3) \\ P(M_1\cap M_2\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_2)P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

16.11.2008, 22:15

der von oben

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so wäre das tatsächlich leicht zu zeigen,

P(M3 n [M1 u M2])
=P([M3 n M1] u [M3 n M2])
=P[M3 n M1] + P [M3 n M2] - P [M3 n M1 n M2]
=P(M1)*P(M3) + P (M2)*P(M3) - P(M3)*P(M1)*P(M2)
=P(M3)*[P(M1) + P (M2) - P(M1)*P(M2)]
=P(M3)*[P(M1) + P (M2) - P(M1 n M2)]
=P(M3)*[P(M1 u M2)]

jedoch:

woher weiß ich denn, dass

$\begin{eqnarray*} P(M_1\cap M_2\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_2)P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

gilt?

für mich erschließt sich aus der Aufgabenstellung nur

$\begin{eqnarray*} P(M_1\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_3)\\ P(M_1\cap M_2) &=& P(M_1)P(M_2) \\ P(M_2\cap M_3) &=& P(M_2)P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

16.11.2008, 22:35

der von oben

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es ist ja nicht gesagt, dass M1, M2, M3 eine Familie sind, nur weil sie unabhängig sind,oder? Ausserdem wäre es dann ja eine Äquivalenz, warum ist die Aufgabenstellung dann nur eine Implikation?!...

16.11.2008, 22:37

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Unabhängigkeit heißt Unabhängigkeit, und die Definition dieser erfordert DIREKT

$\begin{eqnarray*} P(M_1\cap M_2\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_2)P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

Das hier

Zitat:

Original von der von oben
$\begin{eqnarray*} P(M_1\cap M_3) &=& P(M_1)P(M_3)\\ P(M_1\cap M_2) &=& P(M_1)P(M_2) \\ P(M_2\cap M_3) &=& P(M_2)P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

folgt bereits bei lediglich paarweiser Unabhängigkeit. Diese allein reicht aber nicht aus, um deine Aussage zu zeigen. Informier dich also mal richtig zu Unabhängigkeit, offenbar sitzen diese Begriffe bei dir nicht richtig.

EDIT: Und falls du es immer noch nicht glaubst, dass "paarweise Unabhängigkeit" schlicht und einfach zu wenig ist, um

$\begin{eqnarray*} P((M_1\cup M_2) \cap M_3) = P(M_1\cup M_2) \cdot P(M_3) \end{eqnarray*}$

zu zeigen, dann führe dir mal folgendes Gegenbeispiel zu Gemüt: Zweimaliges Werfen einer ungezinkten Münze mit den Ereignissen

$\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ ... 1.Wurf ist Kopf

$\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ ... genau einmal Kopf unter den beiden Würfen

$\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ ... 2.Wurf ist Kopf

Dann sind diese 3 Ereignisse paarweise unabhängig, aber es ist

$\begin{eqnarray*} P(M_1\cup M_2) &=& \frac{3}{4}\\ P(M_3) &=& \frac{1}{2}\\ P((M_1\cup M_2)\cap M_3)) &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} P((M_1\cup M_2) \cap M_3) \neq P(M_1\cup M_2) \cdot P(M_3) \end{eqnarray*}$ .

16.11.2008, 23:28

der von oben

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und wo ist dann der unterschied zwischen unabhängig und "unabhängiger Familie" ??

16.11.2008, 23:30

der von oben

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Achja, und es bleibt immernoch die Frage, warum die Aufgabenstellung nur eine implikation und keine äquivalenz ist?!.....

16.11.2008, 23:43

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Zitat:

Original von der von oben
und wo ist dann der unterschied zwischen unabhängig und "unabhängiger Familie" ??

Es gibt da keinen Unterschied.

Zitat:

Original von der von oben
Achja, und es bleibt immernoch die Frage, warum die Aufgabenstellung nur eine implikation und keine äquivalenz ist?!.....

Weil es keine Äquivalenz ist: Es lassen sich Ereignisse $\begin{eqnarray*} M_1,M_2,M_3 \end{eqnarray*}$ finden, für die zwar

$\begin{eqnarray*} P((M_1\cup M_2) \cap M_3) = P(M_1\cup M_2) \cdot P(M_3) \end{eqnarray*}$

gilt, die aber nicht unabhängig sind.

17.11.2008, 01:03

der von oben

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Achso, alles klar und vielen Dank

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m1,m2,m3 unabhängig =>(m1 v m2), m3 unabhängig

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