Problem bei "einfacher" Bruchgleichung

28.08.2006, 19:25

Chyper

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Problem bei "einfacher" Bruchgleichung

Hallo,
ich hol gerade etwas alten Schulstoff nach, und muss leider feststellen, dass ich seit der Schulzeit sehr viel vergessen habe unglücklich

unglücklich

Ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{7}{x(x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich denke der Hauptnennermuss x(x-1) sein.
Erweitere den ersten Bruch mit x und den zweiten mit (x-1).
Der dritte kann ja so stehen bleiben. Richtig bisher?

Danach multipliziere ich alles aus und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3x}{x(x-1)} - \frac{4x-4}{x(x-1)} = \frac{7}{x(x-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Das wird dann zu x = -11 zusammengefasst.
Stimmt das soweit?

Danke!
Gruß
Chyper

28.08.2006, 19:28

MrPSI

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Das stimmt nicht. Beachte das Minus vor dem 2. Bruch. Wenn der Nenner wegmultipliziert wird oder die Brüche zusammengefasst werden, so wirkt der Zähler als ob er in einer Klammer steht mit einem Minus davor:
-(4x-4) = ...

28.08.2006, 19:28

JochenX

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nit janz....

zu allererst mal solltest du vor allem den Def-Bereich von x angeben!
dann beim zusammenfassen haste dich verhauen....
beachte, dass das - vor dem zweiten Bruch die -4 zu einer +4 macht, auf die andere Seite gebracht...

28.08.2006, 19:34

Chyper

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ahh richtig x = -3
Hab ich das "-" beim ausmultiplizieren nicht beachtet.

Danke Jungs!

28.08.2006, 20:22

Chyper

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Trau mich ja fast nicht euch nochmal mit für euch sicher "trivialen" Kram zu nerven, aber hab hier noch eine andere Aufgabe bei der ich mir absolut nicht sicher bin:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{5x-5}{x+7} + \frac{3x-7}{4-x} = 2<br /> \end{eqnarray*}$

(Definitionsbereich war bei der Aufgabe keiner abgegeben)

Der Hauptnenner denke ich lautet hier (x+7)(4-x) (die 1 von letzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$ kann man ja einfach weglassen oder?)

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(5x-5)(4-x)}{(x+7)(4-x)} + \frac{(3x-7)(x+7)}{(x+7)(4-x)} = \frac{2(x+7)(4-x)}{(x+7)(4-x)}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt lass ich einfach die Nenner wegfallen und komm ausmultipliziert auf:
34x-69+3x² =

Jetzt taucht auch mein Problem auf. Ich weiss nicht in welcher Reihenfolge ich die rechte Seite ausmultiplizieren soll. Habs mal so gemacht:

2(x+7)(4-x)
(2x+14)(4-x)
8x+2x²+56-14x
-6x+2x²+56

also
34x-69+3x² = -6x+2x²-56 |+6x;-2x²
40x-69+x² = -56 |+56
40x-13+x² = 0

Aber hier stimmt was absolut nicht, und ich komm nicht drauf was :/
Mag mir jemand einen Tipp geben?

28.08.2006, 20:34

MrPSI

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Beide Seiten sind falsch! Rechne nochmal nach und poste die Rechenwege hier.

P.S.: Und wenn du eine neue Zeile im Latex-Code machen willst, nutze bitte den Befehl \\ .

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28.08.2006, 20:34

Bjoern1982

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Hallo

Du hast dich da nur ordentlich verrechnet, rechne einfach nochmal genau nach.

Zitat:

Ich weiss nicht in welcher Reihenfolge ich die rechte Seite ausmultiplizieren soll. Habs mal so gemacht:

Das ist ganz egal, in welcher Reihenfolge du das machst, da die Multiplikation immer vertauschbar ist (Kommutativgesetz)

Wie gesagt, du hast dich halt nur verrechnet.

Gruß Björn

28.08.2006, 20:43

brain man

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Nachdem du richtig anfängst, unterlaufen dir einige Rechen- und Gesetzfehler. Das Distributivgesetz zur Auflösung von Klammern lautet :

$\begin{eqnarray*} a ( b + c ) = ab + ac \end{eqnarray*}$

Das ganze gilt natürlich auch analog mit Subtraktionen in den klammern.

28.08.2006, 20:58

JochenX

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Zitat:

(Definitionsbereich war bei der Aufgabe keiner abgegeben)

Den musst du eben selbst aufstellen.
Beachte dabei immer, dass du keine Nennernullstellen zulassen darfst.
Du hast bei gebrochenrationalen Funktionen immer $\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R \setminus \{x_1,x_2,....x_n\} \end{eqnarray*}$ , wobei die x_i einfach die Nennernullstellen sind, die du ausschließen musst.

Bei der allerersten Aufgabe waren das z.B. 0 und 1, also war da $\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R \setminus \{0, 1\} \end{eqnarray*}$
Es kann sonst nämlich passieren, dass du sonst bei der Multiplikation mit dem Hauptnenner (der ja alle Nenner als Faktor enthält) die Gleichung mal 0 nimmst und somit Scheinlösungen bekommst.....

Darum und wegen des guten Tons immer immer immer selbst den Def-Bereich bestimmen, bevor du losrechnest.

28.08.2006, 21:21

Chyper

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Also versuch ich mal den Definitionsbereich aufzustellen:
D=R\{-7;0;4}

Habs nochmal gerechnet:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

(5x-5)(4-x)   + (3x-7)(x+7)   = 2(x+7)(4-x)

20x-5x²-20+5x + 3x²+21x-7x-49 = (2x+14)(4-x) 
25x-5x²-20    + 3x²-49+14x    = 8x-2x²+56-14x
39x-2x²-69                    = -6x-2x²+56   |+2x²;-56
                    39x-125   = -6x          |+125;+6x
                          45x = 125          | :45
                            x = 2,7777777777777777777777777777778

Habs mehrmals druchgerechnet.
Der Wert sieht zwar immer noch komisch aus, aber ich komm immer aufs selbe Ergebnis.

Dank und Gruß
Chyper

28.08.2006, 21:38

MrPSI

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Deine Lösung stimmt. Freude

Freude

Doch dein Definitionsbereich hat nen kleinen Fehler: die Null muss raus. Im Definitionsbereich werden nur jene Zahlen ausgeklammert, die nicht in den Nenner eingesetzt werden dürfen.

28.08.2006, 21:45

Chyper

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*freu* :-)
Danke euch! Werd's mir merken @Definitionsbereich.
Dann mach ich mich mal an die nächsten Aufgaben.
(Und bevor ichs nicht mind. 3x durchgerechnet hab, werd ich euch auch nicht mehr nerven!) Sorry, aber die einfachen 'verrechner' hätt ich euch ersparen können :/

Chyper

29.08.2006, 00:33

Chyper

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ich bins mal wieder :/
hab wieder eine aufgabe die ich nicht hinbekomm:

$\begin{eqnarray*} \frac{x²+2}{x²-1} = \frac{-x-4}{1-x} \end{eqnarray*}$

Der Nenner des ersten Bruchs sah so verlockend aus, da hatte ichs mit (1-x)(1+x) als Hauptnenner versucht (im Hinterkopf (1-x)(1+x)=x²-1) gehabt - was natürlich Blödsinn war, da ja 1-x <> x-1 ist Hammer

Hammer

Beim zweiten Versuch hab ich als HN (x²-1)(1-x) genommen.

Also:

code:
1: 2: 3: 4:	(x²+2)(1-x) = (-x-4)(x²-1) x²-x³+2-2x = -x³+x-4x²+4 \|+x³;-x x²+2-3x = -4x²+4 \|-2;-x² -3x = -3x² + 2

Nur glaube ich, dass die Aufgabe so nicht richtig ist. Ich habe leider keine Lösungen parat, aber ich beweifle das so ein 'krummes' Ergebnis rauskommt - also hab ich wohl wieder misst gebaut - kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke und Gruß
Chyper

29.08.2006, 00:40

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Chyper
(x²+2)(1-x) = (-x-4)(x²-1)
x²-x³+2-2x = -x³+x-4x²+4 |+x³;-x
x²+2-3x = -4x²+4 |-2;-x²
-3x = -3x² + 2

Rot ist falsch. Das macht dein "Ergebnis" allerdings nicht glatter. Trotzdem soweit richtig. Jetzt pq-/abc-/Mitternachtsformel.

Hauptnenner wäre übrigens einfacher gewesen. Dazu hättest du auf der rechten Seite im Zähler und im Nenner -1 ausklammern können und die dann kürzen. Dann hätte deine ursprüngliche Idee hingehauen.

29.08.2006, 01:13

Chyper

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Ah, ja genau. Da hatte ich mich beim posten vertippt.
-3x = -5x² + 2

Danke fuer den Tipp.
Muss aber gestehen an die Mitternachtsformel und deren Anwendung rinner ich mich nur noch sehr dunkel bis garnicht.
Wenn ich's richtig interpretiert hab, muss ich den Bruch jetzt in Form ax² + bx + c = 0 bringen:

-3x = -5x² + 2 |+3x

0 = -5x2 + 3x +2

-> -5x² + 3x + 2 = 0

Mitternachtsformel lautet: $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Versuch ich das mal einzusetzen: $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-3x\pm\sqrt{(3x)²-4(-5x²)2}}{-10x²} \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-3x\pm\sqrt{6x²-40x²}}{-10x²} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-3x\pm\sqrt{-34x²}}{-10x²} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig? Jetzt nur noch ausrechnen? (und wie?!)

Aber was ich auch nicht ganz versteh, warum steht davor x1,2 - gibt es zwei Ergebnisse? Und was bedeutet das $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ? traurig

traurig

Chyper

29.08.2006, 01:41

Ben Sisko

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Es ist $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{-b + \sqrt{b²-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{-b - \sqrt{b²-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ . Das können zwei Lösungen der quadratischen Gleichung sein. Wenn unter der Wurzel eine Null rauskommt, ist's nur eine Lösung (dann kommt ja für beide dasselbe raus) und wenn unter der Wurzel was negatives rauskommt, hat die Gleichung keine reelle Lösung.

In deinem Fall ist a=-5, b=3 und c=2. Das nun einfach einsetzen, ein x kommt da nicht mehr hin!

29.08.2006, 02:01

Chyper

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Ah, ok - jetzt wirds klarer. Vielen Dank!

$\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{-10} \end{eqnarray*}$

x1 = -0,4
x2 = 1

Denke ich habs! smile

smile

Aber war ne fiese Sache eine solche Aufgaben bei den Bruchgleichungen zu verstecken, wo man alles erwartet, nur keine quadratischen Funktionen.
Das macht meine ganze Strategie des langsamen herantastens zunichte. smile

smile

Chyper

29.08.2006, 02:21

Ben Sisko

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Jetzt noch erkennen, dass dein x2 nicht zum Definitionsbereich deiner Bruchgleichung gehört.

29.08.2006, 02:43

Chyper

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Stimmt, da sonst der 2. Nenner zu 0 wird.
Hätt ich gleich den Definitionsbereich oben mit dran geschrieben, hätt ich das wahrscheinlich nicht übersehen. *merk*

Dein Hinweis vorhin, dass ich den Hauptnenner einfacher haben könnte, hab ich glaub noch nicht ganz verstanden.

Du meintest ich sollte beim 2. Bruch ( $\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{1-x} \end{eqnarray*}$ ) die -1 ausklammern.

also $\begin{eqnarray*} \frac{x²+2}{x²-1} = \frac{-1(x+4)}{-1(-1+x)} \end{eqnarray*}$

Ich seh jetzt aber immer noch nicht wie ich da auf den HN (x+1)(x-1) kommen sollte verwirrt

verwirrt

29.08.2006, 02:56

JochenX

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-1 kannst du jetzt kürzen
und plötzlich hast du die (x-1) im Nenner stehen, die du oben gesucht hast.

Spätestens jetzt erkennst du doch auch, dass (x^2-1) der Hauptnenner ist, oder?
Erweitere den zweiten Bruch nur noch mit x+1 und du hast Nennergleichheit.

29.08.2006, 03:08

Chyper

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sorry, seh das nicht. (das x²-1 = (x-1)(x+1) ist, dass seh ich schon.)

Aber wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{-1(x+4)}{-1(-1+x)} \end{eqnarray*}$ mit -1 kürze, komm ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{-1+x} \end{eqnarray*}$ aber nicht auf x-1 verwirrt

verwirrt

29.08.2006, 03:10

Ben Sisko

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-1+x=x-1

29.08.2006, 03:17

Chyper

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ahh.
Also kann ich die Bruchgleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1-x} - \frac{2}{x-1} = \frac{2x³-6}{1-x²} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x-1} - \frac{2}{x-1} = \frac{2x³-6}{x²-1} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$ schreiben und damit einfach den HN x²-1 bzw. (x+1)(x-1) benutzen?

29.08.2006, 03:26

Ben Sisko

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Ne, das musst du schön wie oben machen. Wenn du im Nenner -1 ausklammerst, dann auch im Zähler.

Falls du jetzt einfach die Reihenfolge getauscht hast, es ist NATÜRLICH $\begin{eqnarray*} -1+x=x-1 \\ x-1 \neq 1-x \end{eqnarray*}$
Beim ersten verändert man ja nur die Reihenfolge, beim zweiten aber die Vorzeichen!
Schau dir ein Beispiel an, x=2, dann steht da $\begin{eqnarray*} -1+2=2-1 \\ 2-1 \neq 1-2 \end{eqnarray*}$

Klar, oder?

29.08.2006, 03:38

Chyper

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ja, hatte das einfach so getauscht. Hatte mich schon gewundert, dass man das so einfach umdrehen kann - ist wohl doch schon etwas spät geworden unglücklich

unglücklich

Aber ich denke nun ist's klar - Reihenfolge tauschen ist ok (vorzeichen lassen!) und wenn's damit nicht geht mit dem ausklammern der -1 die vorzeichen drehen.

Zweiter versuch beim unteren Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1-x} - \frac{2}{x-1} = \frac{2x³-6}{1-x²} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$ wird über $\begin{eqnarray*} \frac{-1(-2x)}{-1(1+x)} - \frac{2}{x-1} = \frac{-1(-2x³+6)}{-1(-1+x²)} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x+1} - \frac{2}{x-1} = \frac{-2x³+6}{x²-1} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$

und beim 3. kann man dann einfach (x+1)(x-1) als HN nehmen.

29.08.2006, 03:56

Ben Sisko

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Beim ersten Bruch muss -1(-1+x) bzw. -1(x-1) hin.

Vielleicht machst morgen weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2006, 04:21

Chyper

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glaub du hast recht, heut machts wohl nimmer viel sinn - zuviele leichtsinnsfehler. Schreib sogar schon falsch vom blatt ab.

Die Aufgabe hatte richtig gelautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1-x}-\frac{2}{x-1}=\frac{2x²-6}{1-x²} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$

Und mein letzter Lösungsversuch für heut:
D=R \ {1,-1}

$\begin{eqnarray*} \frac{-1(-2x)}{-1(-1+x)}-\frac{2}{x-1}=\frac{-1(-2x²+6)}{-1(-1+x²)} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x-1}-\frac{2}{x-1}=\frac{-2x²+6}{x²-1} - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray*}$

-2x(x+1) - 2(x+1) = -2x²+6 - 8(x-1)
-2x²-2x-2x-2 = -2x²+6-8x+8 |+2x²
-4x-2 = 14-8x |+2;+8x
4x = 16
x = 4

29.08.2006, 13:49

Ben Sisko

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Freude

29.08.2006, 19:18

Chyper

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Da bin ich mal wieder:

Aufgabe diesmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-1}{x-1} - \frac{1}{2} * (\frac{1}{x} - 2) = 0 \end{eqnarray*}$

Als HN hab ich mir 2x(x-1) gedacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x)(2x-1)}{2x(x-1)} - \frac{(x)(x-1)}{2x(x-1)} * (\frac{(x)(x-1)}{2x(x-1)} - \frac{(2)(2x(x-1))}{(2x(x-1))}) = 0 \end{eqnarray*}$

Beim ersten Bruch ist ja schon (x-1) im Nenner, also muss ich nur mit 2x erweitern.
Beim 2. Bruch ist eine 2 im Nenner, also muss ich mit x(x-1) erweitern.

Bei den beiden Brüchen in der Klammer:
- beim ersten ist das x schon da, also erweitern mit x(x-1)
- beim 2. Bruch ist ja ne 1 im Nenner, also muss ich da mit dem gesamten HN erweitern.

Ist die Vorgehensweise soweit richtig?

29.08.2006, 19:23

MrPSI

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Zitat:

- beim ersten ist das x schon da, also erweitern mit x(x-1)

Das ist falsch.
Ansonsten ist deine Vorgehensweise richtig.

Dennoch ist sie kompliziert. Ich schlage vor, dass du vor der Erweiterung die Klammer ausmultiplizierst.

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