Mögliche Funktionsgleichungen finden |
| 02.06.2004, 15:50 | bibi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Mögliche Funktionsgleichungen finden kann ich eine Gleichung für eine Funktion finden, von der ich zwar alle Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte kenne, von der ich aber nicht weiß, wievielten Grades sie ist? Mein Ansatz war, eine Funktion zu finden, von der 3 Extremstellen (ES)bekannt sind: 1. Ableitung der Funktion wäre f'(x) =(x-ES1)*(x-ES2)*(x-ES3) Bsp: Die Ableitung einer Fktn. mit den Extremstellen -2, 0 und 2 wäre: f'(x) = x^3 - 4x Die Funktion selbst wäre dann: f(x) = 1/4x^4 - 2x^2 + C Wenn ich die aber plotte, dann bekomme ich lediglich eine nach unten geöffnete Parabel und nur einen Extremwert. 
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| 02.06.2004, 16:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ansatz und Rechnung sind wohl richtig. Also mußt du falsch geplottet haben. (Bei meinem Plotter paßt's.) |
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| 02.06.2004, 16:39 | Marco_the_Chief | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Mögliche Funktionsgleichungen finden Also ich weiß ja nicht wo Du die Funktion plottest, wenn ich das mal auf dem Papier mit Deiner Funktionsgleichung rechne, bekomme ich eine doppelte Nullstelle bei "0" und je eine bei 2Wurzel2 und bei -2Wurzel2 raus, und somit einen Extremwert bei "0" einen zw 0 und 2Wurzel2 (2) und einen zw 0 und -2wurzel2 (-2), passt doch Gruß Marco Ich habe nicht behauptet, dass die Extremwerte nicht bei 2 und - 2 liegen drum hab ichs ja in Klammern dazugeschrieben @Mathespezialschüler |
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| 02.06.2004, 16:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Woher weiß man, dass die Ablitungsfunktion dritten Grades ist? Es kann ja sein, dass eine oder mehrere doppelte Nullstellen der Ableitung vorhanden sind und die Linearfaktoren falsch sind.
@Marco Die Extremstellen 2 und -2 sind schon richtig für diesen Graphen! |
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| 02.06.2004, 16:41 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, es gäbe noch mehr Möglichkeiten, eine Funktion mit solchen Eigenschaften zu konstruieren. |
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| 02.06.2004, 16:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ist die Aufgabe ja relativ sinnlos oder? |
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| 02.06.2004, 16:54 | Marco_the_Chief | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn der Grad nicht angegeben ist, muß man ja wohl irgendeine Annahme treffen, d.h. je nach dem wieviele Nullstellen, Extremwerte oder Wendepunkte man kennt z.B. 3 NS, 3 EW und 3 WP => 5.Grades (unter Annahme einfacher Nullstellen der 2ten Ableitung) z.B. 3 NS, 5 EW und 4 WP => 6.Grades (unter Annahme einfacher Nullstellen der 1ten Ableitung) wenn in Deinem Beispiel aber bei 2, -2 oder bei 0 auch zusätzlich eine Nullstelle ist bedeutet das, dass hier eine doppelte vorhanden ist, wenn überdies auch noch ein WP an einer dieser Stellen ist, so handelt es sich mindestens eine dreifache etc. |
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| 02.06.2004, 16:54 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hätte gern ALLE Infos zu Extrem-, Null-, und Wendestellen. Pro Info gäbs dann eine Bedingungsgleichung . Bei n Infos also den Grad (n-1). oder etwa nicht? Edit:Naja, war wohl leicht zu spätt.... |
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| 02.06.2004, 21:38 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
..oder man versucht die Menge aller Funktionen zu finden die mit den Bedingungen verträglich sind. |
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| 07.06.2004, 13:03 | bibi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Angenommen, ich habe 4 NS, 3 Extrema und 2 Wendepunkte gegeben (Kurve sieht aus wie ein M). Heißt das dann automatisch Funktion 8. Grades (weil 9 Bedingungen). Hätte ich jetzt zusätzlich noch den y-Achsenabschnitt gegeben, hätte ich ja eine Bedingung mehr, aber deswegen muss die Funktion doch noch lange nicht 9. Grades sein.
Ich dachte immer, wenn ich 2 WP habe, dann ist die Fktn mindestens 4. Grades. Und bei 2 WP hab ich doch automatisch 3 Extrema (von besonderheiten mal abgesehen), oder? Die Anzahl der Nullstellen (doppelte und dreifache mitgezählt) ist doch immer gleich der Gradhöhe, oder? Dann hätte ich also bei insgesamt 4 NS von denen 2 gleichzeitig WP sind eine Funktion 6. Grades vorliegen? |
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| 07.06.2004, 14:21 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, das muss sie nicht. Die Aussage ist nur: Wenn du 9 Bedingungen hast und es eine überhaupt eine Funktion gibt, die diese Bedingungen erfüllt, dann gibt es eine Funktion höchstens achten Grades (oder höchstens neuten Grades, siehe unten), die diese Bedingung erfüllt. Die kann auch kleineren Grad haben.
Ja, du brauchst mindestens Grad 4, um zwei Wendepunkte zu bekommen. Diese Funktion hat aber nicht notwendig 3 Extrema: Die Funktion hat 2 Wendepunkte, aber nur ein Extremum. Es sei denn du meinst mit "Besonderheiten" genau den Fall, dass statt zwei Extrema ein Sattelpunkt vorliegt.
Die Anzahl der Nullstellen ist höchstens gleich dem Grad (x^2+1 hat keine reellen Nullstellen). Diese Bedingungen werden jedenfalls von einer Funktion 6. Grades erfüllt, aber es kann auch passieren, dass bereits der Grad 4 ausreicht. Dein Ansatz ist immer der, dass du eine Funktion vom Grad n oder n-1 vermutest, wenn du n Bedingungen hast. Wenn du dann die Bedingungen einsetzt, und die Gleichungen löst, erkennst du, ob eine Lösung mit kleinerem Grad existiert. @johko: Ich stimme dir zu, bei n Bedingungen nur den Grad n-1 zu vermuten, aber was ist dann anders, wenn ich n Nullstellen vorgebe? Gruss, SirJective |
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