Lie-Klammer berechnen

16.11.2008, 14:05

vektorraum

Lie-Klammer berechnen

Hi!

Wir haben die Lie-Klammer über zwei Vektorfelder so eingeführt:

$\begin{eqnarray*} [V,W](f):=V(W(f))-W(V(f)) \end{eqnarray*}$

für jede Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C^{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Unser Beispiel:

$\begin{eqnarray*} V=x\partial y,~W=xy\partial_y+x\partial_x \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} [V,W](f)=(x\partial_y)(xy\partial_y+x\partial_x)(f)-(xy\partial_y+x\partial_x)(x\partial_y)(f)=(x\partial_y)(xy\partial_y f+x\partial_x f)-(xy\partial_y+x\partial_x)(x\partial_y f)=x^2\partial_y f+x^2y\partial_y^2 f+x^2\partial_y\partial_x f-\ldots \end{eqnarray*}$

Mir ist leider der letzte Schritt unklar... Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Danke euch Wink

18.11.2008, 13:35

Abakus

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RE: Lie-Klammer berechnen

Zitat:

Original von vektorraum
Wir haben die Lie-Klammer über zwei Vektorfelder so eingeführt:

$\begin{eqnarray*} [V,W](f):=V(W(f))-W(V(f)) \end{eqnarray*}$

für jede Funktion $\begin{eqnarray*} f\in C^{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Unser Beispiel:

$\begin{eqnarray*} V=x\partial y,~W=xy\partial_y+x\partial_x \end{eqnarray*}$ .

Wieso sind das Vektorfelder? Sieht doch eher nach Operatoren aus.

Zitat:

Dann ist

$\begin{eqnarray*} [V,W](f)=(x\partial_y)(xy\partial_y+x\partial_x)(f)-(xy\partial_y+x\partial_x)(x\partial_y)(f)=(x\partial_y)(xy\partial_y f+x\partial_x f)-(xy\partial_y+x\partial_x)(x\partial_y f)=x^2\partial_y f+x^2y\partial_y^2 f+x^2\partial_y\partial_x f-\ldots \end{eqnarray*}$

Mir ist leider der letzte Schritt unklar... Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Produktregel und Differenzieren sowie Linearität des Ableitungsoperators.

Grüße Abakus smile

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