Aufabe ZGWS

16.11.2008, 14:13

tigerlilly

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Aufabe ZGWS

Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses sollen die ersten 1000 Einsender einer Bestellung eine Damen- bzw. Herrenarmbanduhr als Geschenk erhalten. Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fühlen. Wieviele Damen- bzw. Herrenarmbanduhren sollte das Versandhaus vorrätig haben, so dass mit Wahrscheinlichkeit 98% alle 1000 Einsender eine passende Uhr erhalten?
Hinweis: Verwenden Sie eine Normalverteilungsapproximation. Da Herren die Präsente genauso stark nachfragen wie Damen, ist es sinnvoll, genauso viele Damen- wie Herrenarmbanduhren vorrätig zu haben.

Leider weiss ich nicht, wie ich bei der Aufgabe anfangen soll.
Also ich würde die Aufgabe mit dem ZGWS lösen:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^n~X_i-n\mu)/\sqrt{n\sigma^2} \end{eqnarray*}$
Leider fehlt mir da aber die Standardabweichung dafür.
Oder ist mein Ansatz schon falsch?

Freue mich über jede Hilfe.

18.11.2008, 10:58

tigerlilly

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RE: Aufabe ZGWS
Kann mir keiner helfen?

18.11.2008, 13:39

Zellerli

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Die Aufgabe ist komisch.

Man braucht 1000 Armbanduhren. Davon soll ein Teil für Männer, einer für Frauen sein.
Über die Normalverteilung soll man rauskriegen wieviele von jeder Sorte.
Aber als Hinweis steht dann da

Zitat:

Da Herren die Präsente genauso stark nachfragen wie Damen, ist es sinnvoll, genauso viele Damen- wie Herrenarmbanduhren vorrätig zu haben.

Jetzt meine Rückfrage: Auf wie viele Arten kann ich 1000 in zwei gleich große Gruppen einteilen?

18.11.2008, 13:53

tigerlilly

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naja, also da die Anzahl von Herren- und Damenuhren gleich sein soll würde ich sagen 500, aber irgendwie würde die Aufgabe dann wenig Sinn machen

18.11.2008, 14:15

DGU

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Man muss 1000 Armbanduhren verschenken, das bedeutet nicht, dass man auch nur 1000 auf Lager haben muss, um 98% aller Nachfragen zu erfüllen. Dazu werden auf jeden Fall mehr als 1000 Uhren benötigt...

18.11.2008, 14:29

tigerlilly

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hmmm, ok, d.h. ich benötige mehr als 1000 Uhren, da die Nachfrage schwanken kann?

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18.11.2008, 16:56

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Zitat:

Original von tigerlilly
Also ich würde die Aufgabe mit dem ZGWS lösen:
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^n~X_i-n\mu)/\sqrt{n\sigma^2} \end{eqnarray*}$
Leider fehlt mir da aber die Standardabweichung dafür.
Oder ist mein Ansatz schon falsch?

Alles schön und gut, aber warum machst du den fünften Schritt vor dem ersten? Wenn du das Problem genau analysierst, dann ergeben sich dann schon die Parameter.

-----------------------------------------------

DGU hat es schon richtig gesagt, jetzt nochmal quantitativ genauer aufgeschlüsselt:

Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl von Damen unter den 1000 Kunden. Diese Anzahl ist eigentlich binomialverteilt $\begin{eqnarray*} D \sim B\left(1000, \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , Wahrscheinlichkeitsberechnungen dazu können aber (und sollen wohl bei dieser Aufgabe) durch die zugehörige Normalverteilungsapproximation geschehen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die bestellte Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an Damenuhren nicht ausreicht, ist $\begin{eqnarray*} P(D>n) \end{eqnarray*}$ . Genauso ist $\begin{eqnarray*} P(D<1000-n) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die ebenfalls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ betragende Anzahl bestellter Herrenuhren nicht ausreicht! D.h., das zu berechnende $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist die kleinste Anzahl, die der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P(1000-n \leq D \leq n) \geq 0.98 \end{eqnarray*}$

genügt. Der Rest ist Normalverteilungsberechnung, natürlich mit vorheriger Berechnung der Normalverteilungsparameter aus den Parametern der Binomialverteilung.

18.11.2008, 18:52

tigerlilly

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Stimmt dann mein weiteres Vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \Phi((n-1000)/1/\sqrt{n}) - \Phi(-n/1/ \sqrt{n}) \end{eqnarray*}$

18.11.2008, 18:57

AD

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Nein, stimmt nicht.

Ich hab doch schon gesagt: Schritt für Schritt. Schreib doch mal auf, mit welcher Normalverteilung du da rechnest, ansonsten können wir auch nicht die Fehlerquellen nennen.

18.11.2008, 19:05

tigerlilly

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ich würde mit der Standardnormalverteilung rechnen. Also weiss ich, dass $\begin{eqnarray*} \sigma = 1 \end{eqnarray*}$ . Da ich mit der Standardnormalverteilung rechnen möchte muss ich standardisieren,
$\begin{eqnarray*} P(1000-n-1000\leq D\leq n-1000) \end{eqnarray*}$
oder bin ich hier schon auf dem falschen Weg?

18.11.2008, 19:11

AD

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Es k...t mich an: Nur raten, raten, raten - aber niemals mal ein bisschen nachdenken. böse

böse

Approximation Binomialverteilung durch Normalverteilung: Geschieht über gleiche Mittelwert- und Varianzparameter, also

$\begin{eqnarray*} B(n,p) \approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall heißt das

$\begin{eqnarray*} B\left(1000, \frac{1}{2} \right) \approx \mathcal{N}(500,250) \end{eqnarray*}$ ,

also ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ näherungsweise normalverteilt mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu=500 \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2=250 \end{eqnarray*}$ .

18.11.2008, 19:19

tigerlilly

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Dann hoffe ich mal, dass ich nicht gleich wieder eins aufn Deckel krieg:

$\begin{eqnarray*} P=((1000-n-500)/\sqrt{250}/ \sqrt{500} \leq D-500/\sqrt{250}/ \sqrt{500} \leq (n-500)/\sqrt{250}/ \sqrt{500}) \end{eqnarray*}$
So richtig?

18.11.2008, 19:25

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Das ist weder richtig noch falsch, sondern eine mir nichts sagende Symbolansammlung.

Dafür gibt's keins auf den Deckel - ich strecke nur einfach die Waffen und hoffe auf die kommenden besseren PISA-Jahrgänge.

18.11.2008, 19:27

tigerlilly

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Diese Symbolansammlung soll die Standardisierung sein.

Ist n=502 (gerundet) richtig?

18.11.2008, 19:32

AD

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Nein, n=537 ist die Lösung. Mehr sage ich aber nicht mehr hier im Thread, wenn du nicht endlich aufhörst zu raten.

18.11.2008, 19:44

tigerlilly

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Ich rate wirklich nicht.
Mit der Symbolansammlung habe ich standardisiert , also $\begin{eqnarray*} \mu=500 \end{eqnarray*}$ abgezogen, durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{250}/\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ geteilt und danach aus der Tabelle der Standardnormalverteilung abgelesen. Offensichtlich aber nicht richtig.

18.11.2008, 21:23

0815Name

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Versuchs mal mit Z = (X-µ)/Sigma

Wenn du jetzt einigermassen geschickt einsetzt solltest du auf X=537 kommen.

Btw: Sowas solltest du am 5.12. besser können, sonst dürfte es relativ schwierig werden..

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