Wurzelfolge Grenzwert

16.11.2008, 16:13

prinzschleifer

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Wurzelfolge Grenzwert

Schönes Wochnende Community,

ich hab hier mal wieder Probleme mit einer Folge:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Und ich soll jetzt den Grenzwert bestimmen. Was ich sicher weiß: Beide Teilfolgen sind monoton steigend, das hab ich zwar noch nicht nachgewiesen, aber vorerst sollte das mal reichen.

Ich habe bereits so weit erweitert bis ich folgende Folge bekommen habe.

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 + 1} } \end{eqnarray*}$

Wie fahre ich nun fort? Der Zähler wird immer größer, der Nenner aber auch. Und das beide im unendlichen gleich sind, ist auch sehr unwahrscheinlich?

Irgendwelche Denkansätze?

Grüße,
prinzschleifer

16.11.2008, 16:20

klarsoweit

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RE: Würzelfolge Grenzwert
Klammere unterhalb den Wurzeln n² aus.

16.11.2008, 16:34

prinzschleifer

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Aha!

Sehr schlau!

$\begin{eqnarray*} a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}) \end{eqnarray*}$

Für n -> unendlich steht in der Klammer $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} - \sqrt{1} = 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 0 \cdot n = 0 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

So, gleich die nächste wo ich meine Schwierigkeiten habe:

$\begin{eqnarray*} a_n = (\sqrt[n]{n} - 1 )^n \end{eqnarray*}$

Sieht ähnlich aus wie die Folge die zu der eulerschen Zahl führt, uns wurde aufjedenfall gesagt, dass wir sie in Zusammenhang bringen sollen, aber hier fällt mir nix ein. Habs einfachmal vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} a_n = (n^{\frac{1}{n}} - 1 )^n \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ strebt für große n gegen 1.
Also $\begin{eqnarray*} (1-1)^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (0)^n = 0 \end{eqnarray*}$
stimmt das so?

16.11.2008, 16:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Für n -> unendlich steht in der Klammer $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} - \sqrt{1} = 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 0 \cdot n = 0 \end{eqnarray*}$

Unfug. Wenn schon, dann mußt du alle n nach unendlich laufen lassen und nicht nur die, die dir passen.

Mein Tipp bezog sich auf den von dir umgeformten Folgenterm.

16.11.2008, 17:07

prinzschleifer

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Ah, okay!

Sorry wegen den Unklarheiten. $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen der vorherigen Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{\sqrt{n^2 + n} + \sqrt{n^2 + 1} } \end{eqnarray*}$

da bin ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} } \end{eqnarray*}$

für n -> unendlich = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wieso war mein erster Umformungsversuch falsch? Habe ja legal umgeformt, bin aber auf das falsche Ergebnis gekommen.

16.11.2008, 17:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Sorry wegen den Unklarheiten. $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty = 0 \end{eqnarray*}$

Weil das nun mal falsch ist. Unendlich ist keine Zahl, also gelten auch nicht solche Rechenregeln.

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16.11.2008, 17:34

prinzschleifer

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Gut, vielen Dank, klingt einleuchtend! Werd ich mir merken!!!

Ich steh wieder vor einem Problem, wo ich noch ein paar Probleme habe:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2^n - 3^n}{2n + 3^n} \end{eqnarray*}$

nun sortier ich das erstmal schön:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{- 3^n + 2^n}{3^n + 2n} \end{eqnarray*}$

So, wenn das jetzt keine Exponenten wären, würd ich einfach durch diese Teilen und hätte dann als Grenzwert -1 raus. Gibt es dazu auch einen Trick, also das ich irgendwas ausklammern kann?

16.11.2008, 17:36

klarsoweit

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Klammere 3^n aus. Liegt doch schon fast auf der Hand. smile

smile

16.11.2008, 17:53

Elan

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Ich glaube nicht, daß man hier unbedingt einen Trick braucht. Man kommt ja weiter, wenn man einfach die einzelnen Teilterme gegeneinander abschätzt. Z.B. ist im Zähler 2^n gegenüber 3^n vernachlässigbar. Im Nenner sieht es noch eindeutiger aus. Man kann und sollte hier sein Zahlengefühl schärfen (was ich nicht überheblich meine). smile

smile

16.11.2008, 17:58

prinzschleifer

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Logisch, manchmal sieht man vor lauter Zahlen die Mathematik nicht mehr.

So, nun die allerletze Folge für heute, wo Maple mir ein anderes Ergebnis als ich es erwarten würde auspuckt:

$\begin{eqnarray*} a_n = 8^{-n} \cdot (12n^{-1} + \frac{6n+1}{n^3} + 8)^n \end{eqnarray*}$

So, es existiert mal eine Ähnlichkeit mit der e Folge. Wenn man jetzt aber den Faktor betrachtet: $\begin{eqnarray*} 8^{-n} \end{eqnarray*}$ und diesen Umformt, erhält man:
$\begin{eqnarray*} 8^{-n} = \frac{1}{8^n} \end{eqnarray*}$

Dieser Term strebt für hohe n Werte gegen null.

Ist es dann nicht egal, mit was man es multipliziert, es ergibt immer null oder ist das wieder ein Denkfehler, sowie bei der anderen Aufgabe oben?

Zu Elan:
Ja, ich hab leider noch Problemen mim Abschätzen, denn das hört sich für mich einfach sehr unmathematisch an. Unser Dozent hat auch gesagt, Aussagen wie " $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ steigt schneller als $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ " führen automatisch zu Null Punkten. Aber wie gesagt, du hast recht, wir haben auch schon Aufgaben gemacht, die wir mit Abschätzen gelöst haben. Wie gesagt bin noch ein blutiger Anfänger in der Mathewelt Hammer

Hammer

16.11.2008, 18:05

klarsoweit

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In der Tat. Was machst du denn bei $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \cdot n \end{eqnarray*}$ . Der erste Faktor geht gegen Null. Also ist es egal, was dahinter herkommt?

16.11.2008, 18:13

Airblader

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Zitat:

Original von Elan
Ich glaube nicht, daß man hier unbedingt einen Trick braucht. Man kommt ja weiter, wenn man einfach die einzelnen Teilterme gegeneinander abschätzt. Z.B. ist im Zähler 2^n gegenüber 3^n vernachlässigbar. Im Nenner sieht es noch eindeutiger aus. Man kann und sollte hier sein Zahlengefühl schärfen (was ich nicht überheblich meine). smile

smile

Zum Einen ist das einfach keine ordentliche Begründung* (-> 0 Punkte), zum anderen ist Ausklammern und kürzen grob gesagt die mathematische Version davon.

*) Eben weil man ja begründen muss, warum das so ist. Und das kann man durch Ausklammern+Kürzen.

air

16.11.2008, 18:50

prinzschleifer

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Zitat:

Original von klarsoweit
In der Tat. Was machst du denn bei $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \cdot n \end{eqnarray*}$ . Der erste Faktor geht gegen Null. Also ist es egal, was dahinter herkommt?

Klingt sehr einleuchtend und ist es auch smile

smile

So, nun weiter mit der Aufgabe:

Habe es soweit vereinfachen könne.
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left\{ \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

Ich muss das jetzt irgendwie auf die e Folge ableiten, habe aber keinen blassen schimmer. Polynomdivison?

16.11.2008, 18:51

Elan

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Zitat:

Original von Airblader
...
Zum Einen ist das einfach keine ordentliche Begründung* (-> 0 Punkte), zum anderen ist Ausklammern und kürzen grob gesagt die mathematische Version davon.

*) Eben weil man ja begründen muss, warum das so ist. Und das kann man durch Ausklammern+Kürzen.

air

Grade die sog. "ordentlichen Begründungen" und Beweisführungen an der falschen Stelle sind oft die Ursache dafür, daß jemand der vor einem Matheproblem sitzt, letztlich komplett verwirrt ist. Immer alles zu seiner Zeit. Ich sag mal so: versuchen, Zahlengefühl zu entwickeln und trotzdem eine exakte Formulierung abzuliefern, schließt sich nicht aus.

16.11.2008, 18:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left\{ \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

Wenn ich es richtig sehe, muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left( \frac{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1}{n^3} \right)^n \end{eqnarray*}$

Was ist denn (2n+1)^3 ?

16.11.2008, 19:23

prinzschleifer

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Also zum ersten Teilproblem:

Um $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12n} \end{eqnarray*}$ auf den Hauptnenner $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ zu bringen, mach ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12n} \cdot \frac{\frac{n^2}{12}}{\frac{n^2}{12}} = \frac{\frac{n^2}{12}}{n^3} \end{eqnarray*}$
da:
$\begin{eqnarray*} 12n \cdot \frac{n^2}{12} = n^3 \end{eqnarray*}$ ist. ? Irgendein Denkfehler ist sicherlich drin.

Wenn ich jetz davon ausgeh, dass meins falsch ist und mit deiner Zwischenlösung weiterrechne komm ich auf folgenden Term:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot (2+\frac{1}{n})^{3n} \end{eqnarray*}$

Bin also schonmal ganz nah an meiner e Folge dran.

Stimmt doch bisher soweit?

16.11.2008, 19:44

Elan

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Zitat:

Original von prinzschleifer
...
So, nun weiter mit der Aufgabe:

Habe es soweit vereinfachen könne.
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left\{ \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

Ich muss das jetzt irgendwie auf die e Folge ableiten, habe aber keinen blassen schimmer. Polynomdivison?

Schau dir doch dieses hier nochmal an und besinne dich auf die Potenzgesetze. Du kannst dann die "8" des Nenners linken Bruches einfach in die geschweifte Klammer reinbringen.

16.11.2008, 20:15

prinzschleifer

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So, also ich hab jetzt mit meinem alten Ergebnis weitergerechnet:

und mit nach dem "8" in die Klammer reinbringen auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \left\{ \frac{1}{8} \cdot \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

So nun habe ich ausgeklammert und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} ( ( \frac{n+ \frac{1}{2} }{n} )^{3n} \end{eqnarray*}$

weiter vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} = (1+ \frac{1}{2n})^{3n} \end{eqnarray*}$

stimmt's soweit?

16.11.2008, 20:35

Elan

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Zitat:

Original von prinzschleifer
So, also ich hab jetzt mit meinem alten Ergebnis weitergerechnet:

und mit nach dem "8" in die Klammer reinbringen auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \left\{ \frac{1}{8} \cdot \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

...

Genau. Aber es geht doch um den Grenzwert der Folge, oder hab ich da was verpennt?
Wenn ja, dann würde ich doch hier jetzt einfach innerhalb der Klammer durch $\begin{eqnarray*} 8n^3 \end{eqnarray*}$ durchkürzen.
Dann geht der Grenzwert der Folge innerhalb der Klammer gegen 1 und damit auch der Grenzwert der gesamten Aufgabe.

16.11.2008, 20:43

Elan

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Zitat:

Original von Elan
...
Dann geht der Grenzwert der Folge innerhalb der Klammer gegen 1 und damit auch der Grenzwert der gesamten Aufgabe.

Sorry, diese Schlußfolgerung ist Quatsch! Asche auf mein Haupt.

Deine letzte Zeile:

$\begin{eqnarray*} = (1+ \frac{1}{2n})^{3n} \end{eqnarray*}$

stimmt. Ich bitte um Entschuldigung für evtl. Verwirrung.

Jetzt bist du eigentlich unmittelbar vor dem Ziel. Der Grenzwert auf den ich komme ist
$\begin{eqnarray*} e^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

16.11.2008, 20:51

tmo

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Ich gehe mal von $\begin{eqnarray*} a_n = 8^{-n} \cdot (12n^{-1} + \frac{6n+1}{n^3} + 8)^n \end{eqnarray*}$ aus.

Dann ist $\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} + \frac{6n+1}{8n^3} \right)^n \end{eqnarray*}$

Es ist
$\begin{eqnarray*} \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)^n \leq a_n \leq \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} + \frac{1}{n^2} \right)^n = \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)^n \cdot \frac{\left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} + \frac{1}{n^2} \right)^n}{\left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)^n} = \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)^n \cdot \left( 1 + \frac{1}{n^2\left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)} \right)^n \leq \left( 1+ \frac{\frac{12}{8}}{n} \right)^n \cdot \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^n \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)^n = \frac{\left( 1- \frac{1}{n^4} \right)^n}{\left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n} \to 1 \end{eqnarray*}$ (Abschätzung von Zähler und Nenner jeweils mit Bernoulli). Damit hat man ein schönes Sandwich.

Ganz schön grobes Ding geschockt

geschockt

16.11.2008, 21:51

prinzschleifer

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Sieht ja ganz heftig aus muss ich sagen, aber warum komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{2n})^{3n} \end{eqnarray*}$
all meine Umformungsschitte waren doch legal! und $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{2}} \neq 1 \end{eqnarray*}$
traurig

traurig

16.11.2008, 22:00

Elan

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Ne, nur nicht Bange machen lassen. Ich habe oben einen Fehler gemacht, inzwischen aber berichtigt. Du hast (glaube ich) auch oben in der geschweiften noch einen Leichtsinnsfehler. Da steht 1/12 statt 12, kann das sein?
Jedenfalls sollten Deine Umformungen ansonsten stimmen und dann ergibt sich tatsächlich e^(3/2) als Endergebnis.

16.11.2008, 22:02

tmo

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Is natürlich blöd, wenn man nicht an die binomischen Formel denkt unglücklich

unglücklich

Naja übrigens ist das gar kein Widerspruch. Ich komme ja mit meiner Methode auch auf $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Zu meiner Verteidigung kann ich sagen, dass meine Methode etwas universaler ist Big Laugh

Big Laugh

16.11.2008, 22:10

Elan

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Big Laugh

Ganz fieses Stück Aufgabe, muß ich auch sagen. Alles was uns nicht umbringt, macht uns härter Hammer

Hammer

Aber Prinzschleifer war ja im Grunde unmittelbar vor dem Ergebnis. Insofern Freude

Freude

16.11.2008, 22:13

prinzschleifer

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Gut, also erstmal muss erst ein Problem geklärt werden.

Welche Umformung ist den nun richtig?

a)
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left\{ \frac{8n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 6n + 1}{n^3} \right\} ^n \end{eqnarray*}$

oder

b)
$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left( \frac{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1}{n^3} \right)^n \end{eqnarray*}$

Zu meiner Verteigung kann ich sagen und ich verteidige Ansicht a), dass
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{12n} \cdot \frac{\frac{n^2}{12}}{\frac{n^2}{12}} = \frac{\frac{n^2}{12}}{n^3} \end{eqnarray*}$

da im Nenner folgendes beachtet werden muss:
$\begin{eqnarray*} 12n \cdot \frac{n^2}{12} = n^3 \end{eqnarray*}$

So, sobald wir das geklärt haben schauen wir bitte weiter. smile

smile

16.11.2008, 22:35

Elan

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Aber es ist Version b) richtig, obwohl das, was du in deiner "Verteidigung" sagst, rechnerisch stimmt.

16.11.2008, 23:57

prinzschleifer

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Und wo ist dann mein Fehler? Hammer

Hammer

17.11.2008, 03:33

Elan

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Wenn ich das nur wüßte, hätte ich es dir längst gesagt. smile

smile

Bleiben ja eigentlich nur noch ganz banale Dinge, deshalb frage ich mal so:

in der ursprünglichen Aufgabenstellung, steht da

$\begin{eqnarray*} a_n = 8^{-n} \cdot (12n^{-1} + \frac{6n+1}{n^3} + 8)^n \end{eqnarray*}$

wie soll nun plötzlich die 12 in den Nenner kommen?

kann es sein, daß du einfach den Exponenten -1 vom Term $\begin{eqnarray*} 12n^{-1} \end{eqnarray*}$ auch auf die 12 beziehst? Big Laugh

Big Laugh

Das passiert immer wieder mal, ist aber falsch, denn es gilt "Potenz vor Punkt", so daß sich die -1 NUR auf das n bezieht, nicht auf die 12 !! Kommen wir da der Sache näher?

17.11.2008, 09:11

klarsoweit

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Deswegen auch mein Beitrag:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich es richtig sehe, muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{8^n} \cdot \left( \frac{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1}{n^3} \right)^n \end{eqnarray*}$

Was ist denn (2n+1)^3 ?

Aber hier beachtet mich ja niemand. traurig

traurig

17.11.2008, 11:20

prinzschleifer

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Alles klar!

Zu klarsoweit:
Wir haben deinen Beitrag schon berücksichtig, wir wussten nur nich wie du drauf gekommen bist bzw. wieso mein Term falsch ist.

Naja jetzt sind wir alle schlauer und können normal weiter rechnen ^^

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