Frage zum Kreuzprodukt

16.11.2008, 17:05

Stephan89

Frage zum Kreuzprodukt

Hallo,
als Hausaufgabe muss ich bis morgen beweisen, dass Vekotor a orthagonal zum Kreuzprodukt von Vektor a und b ist.

Nur habe ich keine Ahnung wie ich da anfangen soll.

Könntet ihr mir dabei helfen?

Vielen Dank schon mal im Vorraus

16.11.2008, 17:16

vektorraum

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RE: Frage zum Kreuzprodukt
Du kannst dich sicherlich auf Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ beschränken. Schreibe dir zwei Vektoren a und b auf, z.B.

$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Bilde das Kreuzprodukt von a und b.

Was muss denn gelten, wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander sind...???

Schreib das auf und du hast deinen Beweis.

16.11.2008, 17:18

riwe

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RE: Frage zum Kreuzprodukt
wenn´s in R3 sein soll:

bilde zuerst das kreuzprodukt
dann das skalarprodukt
komponentenweise ausmultiplizieren
geeignet zusammenfassen

16.11.2008, 17:36

Stephan89

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Erstmal Danke für die schnellen Antworten

Es soll im R3 nachgewiesen werden.
Wie kann ich das ganze den allgemein durchführen, denn das ist die Fragestellung ?

16.11.2008, 17:38

vektorraum

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Na das haben Riwe und ich dir doch schon gesagt... Du machst dann halt einfach den gleichen Ansatz wie oben, nur nimmst du noch eine Komponente bei den Vektoren a und b hinzu, d.h. $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du das dann ganz allgemein zeigen.

16.11.2008, 17:49

riwe

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$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot(\vec{a} \times\vec{b} )=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

16.11.2008, 17:51

Stephan89

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Wenn ich das Kreuzprodukt allgemein bilde steht da ja: a1b3 - a3b2
a3b1 - a1b3
a1b2 - a2b1

Das Skalarprodukt ist entsprechend (a1b1)+(a2b2)+(a3b3) =0 --> orthogonal

Wie soll ich das denn nun miteinander verknüpfen bzw. komponentenweise ausmultiplizieren ?

16.11.2008, 17:54

vektorraum

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Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor. Da hat sich in deiner ersten Zeile ein kleiner Fehler eingeschlichen.

Wenn du dann das Skalarprodukt des Kreuzproduktes mit einen der beiden Vektoren a und b bildest, sollte Null raus kommen (Orthogonalitätsbedingung).

Dann bist du fertig.

16.11.2008, 18:01

Stephan89

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Ohne ein Zahlenbeispiel kann ich doch kein Kreuzprodukt ausrechen, da ich ja nur allgemein a und b habe. Oder sehe ich das falsch ?

16.11.2008, 18:03

vektorraum

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Zitat:

Original von Stephan89
Wie kann ich das ganze den allgemein durchführen, denn das ist die Fragestellung ?

Das war doch deine ursprüngliche Frage... Wie kann man das ganz allgemein zeigen. Und das oben stehende ist die Antwort darauf. Du kannst jetzt beliebige Vektoren a und b hernehmen und dann ihr Kreuzprodukt bilden. Dieser Vektor wird immer orthogonal zu den beiden Vektoren a bzw. b sein.

Ein Beweis nutzt keine Zahlenbeispiele.

16.11.2008, 23:14

mYthos

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RE: Frage zum Kreuzprodukt

Zitat:

Original von vektorraum
Du kannst dich sicherlich auf Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ beschränken. Schreibe dir zwei Vektoren a und b auf, z.B.

$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Bilde das Kreuzprodukt von a und b.
...

@VR

Das Kreuzprodukt hat in R2 m. Mn. nach keinen Sinn, weil es dort nur einen Betrag gibt (Determinante), aber keinen Vektor als dieses.

mY+

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