Vollständigkeit von C

16.11.2008, 18:54	mathe008	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit von C Hallo! Man soll zeigen, dass die komplexen Zahlen vollständig sind. Also muss man zeigen, dass jede Cauchyfolge in C konvergiert. Aber wie macht man das? Das ist doch kein Beweis mit einem Beweisverfahren wie der vollst. Induktion oder ähnlichem. :/
16.11.2008, 18:59	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du dir wohl was anderes einfallen lassen . Sei $\begin{eqnarray} (z_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge komplexer Zahlen die eine Cauchyfolge ist. Es ist: $\begin{eqnarray} z_n=x_n+iy_n \end{eqnarray}$ für jedes Folgenglied. Damit bekommt man aus jeder komplexen Zahlenfolge zwei reelle Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ . Was haben nun diese für Eigenschaften wenn man weiss, dass $\begin{eqnarray} z_n=x_n+iy_n \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist?
16.11.2008, 19:20	mathe008	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie sind beschränkt und besitzen genau einen Grenzwert?
16.11.2008, 19:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte darauf hinaus dass dann auch $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ selbst schon Cauchyfolgen sind. Natürlich musst du das noch beweisen.
16.11.2008, 19:34	mathe008	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ok. Also muss ich beweisen, dass diese beiden Folgen Cauchyfolgen sind...jetzt muss ich nur noch herausfinden, wie das geht.
16.11.2008, 19:39	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes ist hilfreich: $\begin{eqnarray} (z_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergent gegen $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} x_n\to x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_n\to y \end{eqnarray}$ .
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16.11.2008, 22:38	mathe008	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir der Beweis der Vollständigkeit von R (also den reellen Zahlen) hier eigentlich behilflich sein? Den habe ich nämlich.
16.11.2008, 23:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich. Zeige: 1. Ist $\begin{eqnarray} (z_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge komplexer Zahlen mit der Realteilfolge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ und der Imaginärteilfolge $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ (d.h. $\begin{eqnarray} z_n=x_n+\operatorname iy_n \end{eqnarray}$ ), so sind $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ reelle Cauchyfolgen. Was weißt du dann über diese Folgen wegen der Vollständigkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ? 2. Konvergieren die reellen Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , so konvergiert die komplexe Zahlenfolge $\begin{eqnarray} (z_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_n=x_n+\operatorname iy_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} z=x+\operatorname iy \end{eqnarray}$ .

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