Isomorphie von Gruppen |
16.11.2008, 20:09 | C.Pistorius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Isomorphie von Gruppen ich soll bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15 bestimmen. Nun denke ich mir bei Ordnung 1 gibt es nur die eine Möglichkeit {e} bei 2,3,5,7,11,13 weiß ich, zyklisch dh isomorph zu Z/nZ für n=2,3,5,7,11,13 hat jemand eine Idee wie ich bei den anderen Ordnungen ran gehe? LG C. |
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16.11.2008, 23:09 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, das ist ja schon eine lustige Aufgabe . Gruppen der Ordnung p^2 mit p prim sind stets abelsch, dazu betrachte das Zentrum und den Zentralisator eines Elementes das nicht im Zentrum ist. Damit sind also Gruppen der Ordnung p^2 nach der Klassifikation der endlich erz. abelschen Gruppen Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ. Bleibt also Ordnung 6,10,14,15 übrig. Gruppen der Ordnung pq mit p<q und p teilt nicht q-1 sind zyklisch. Das beweist man typischerweise nachdem man den Sylowsatz eingeführt hat. Damit bleibt noch 6,10,14. Abelsche Gruppen dieser ordnung sollte klar sein. Bei den Gruppen der Ordnung 6 kenne ich noch eine Einbettung in die S_3 durch transitive Operationen auf Nebenklassen. Vllt. lässt sich das auch auf 10 und 14 verallgemeinern als Einbettung in die D_5 bzw. D_7. |
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18.11.2008, 13:01 | C.Pistorius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Du, ja in der Tat habe ich nun alles, bis auf eine Gruppe. Danke. Zur Bestimmung (bis auf Isomorphie) aller Gruppen der Ordnung 9 kann ich zwar sagen, dass es nur die beiden sind: Z/9Z sowie Z/3Z x Z/3Z. Hat jemand eine Idee, wie man zeigen kann, dass das die beiden einzigen sind? Liebe Grüße, C. |
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18.11.2008, 14:27 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hat kiste doch bereits geschrieben. Gruppen der Ordnung p² sind immer abelsch und als solche dann direktes Produkt von zyklischen Gruppen. |
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18.11.2008, 17:37 | C.Pistorius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja gut, aber ich meine Z/9Z ist doch nicht isomorph zu Z/3Z x Z/3Z (oder doch?) meine Frage ist mehr, wie ich zeige, dass dies die einzigen Möglichkeiten sind. Danke und lg, C. |
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18.11.2008, 17:59 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Gruppe der Ordnung 9 ist abelsch, also direktes Produkt zyklischer Gruppen. (hier: ) Da nun gilt, gibt es nicht viele Möglichkeiten. |
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19.11.2008, 08:56 | C.Pistorius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi DU, danke für den Hinweis, kannst du mir den Satz irgendwo zitieren, das würde mir sehr weiterhelfen. LG C. |
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19.11.2008, 10:08 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab ich zwar schon mal erwähnt aber jetzt nochmal mit Link... http://de.wikipedia.org/wiki/Endlich_erz...abelsche_Gruppe |
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19.11.2008, 11:17 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sollte aber in der Vorlesung behandelt worden sein. Ansonsten ist es imho unangebracht, eine solche Aufgabe zu stellen. |
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19.11.2008, 15:05 | C.Pistorius | Auf diesen Beitrag antworten » |
Huhu, den haben wir in LinA2 behandelt und dürfen ihn nach Aussage unseres Tutors nicht verwenden .. klasse =) Dann schaue ich mal wo ich weiter komme, danke |
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19.11.2008, 15:18 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich meinte ja auch nur unangebracht, aber nicht schwer oder unmöglich. Für den Fall 9 gibt es ja z.B. nur zwei Möglichkeiten: a) Es exististiert ein Element der Ordnung 9 b) Ein solches Element exisiert nicht. Dann haben aber notwendigerweise alle anderen nichttrivialen Elemente die Ordnung 3 |
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