Isomorphie von Gruppen

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C.Pistorius Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie von Gruppen
Hi Ihr,

ich soll bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15 bestimmen.

Nun denke ich mir bei Ordnung 1 gibt es nur die eine Möglichkeit {e}

bei 2,3,5,7,11,13 weiß ich, zyklisch dh isomorph zu Z/nZ für n=2,3,5,7,11,13

hat jemand eine Idee wie ich bei den anderen Ordnungen ran gehe?

LG C.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist ja schon eine lustige Aufgabe Augenzwinkern .
Gruppen der Ordnung p^2 mit p prim sind stets abelsch, dazu betrachte das Zentrum und den Zentralisator eines Elementes das nicht im Zentrum ist. Damit sind also Gruppen der Ordnung p^2 nach der Klassifikation der endlich erz. abelschen Gruppen Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ.

Bleibt also Ordnung 6,10,14,15 übrig.

Gruppen der Ordnung pq mit p<q und p teilt nicht q-1 sind zyklisch. Das beweist man typischerweise nachdem man den Sylowsatz eingeführt hat.

Damit bleibt noch 6,10,14. Abelsche Gruppen dieser ordnung sollte klar sein.

Bei den Gruppen der Ordnung 6 kenne ich noch eine Einbettung in die S_3 durch transitive Operationen auf Nebenklassen.
Vllt. lässt sich das auch auf 10 und 14 verallgemeinern als Einbettung in die D_5 bzw. D_7.
C.Pistorius Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Du,

ja in der Tat habe ich nun alles, bis auf eine Gruppe. Danke.

Zur Bestimmung (bis auf Isomorphie) aller Gruppen der Ordnung 9 kann ich zwar sagen, dass es nur die beiden sind: Z/9Z sowie Z/3Z x Z/3Z.

Hat jemand eine Idee, wie man zeigen kann, dass das die beiden einzigen sind?

Liebe Grüße,
C.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat kiste doch bereits geschrieben. Gruppen der Ordnung p² sind immer abelsch und als solche dann direktes Produkt von zyklischen Gruppen.
C.Pistorius Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, aber ich meine Z/9Z ist doch nicht isomorph zu Z/3Z x Z/3Z (oder doch?) meine Frage ist mehr, wie ich zeige, dass dies die einzigen Möglichkeiten sind.

Danke und lg,
C.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe der Ordnung 9 ist abelsch, also direktes Produkt zyklischer Gruppen.
(hier: )

Da nun gilt, gibt es nicht viele Möglichkeiten.
 
 
C.Pistorius Auf diesen Beitrag antworten »

Hi DU,

danke für den Hinweis, kannst du mir den Satz irgendwo zitieren, das würde mir sehr weiterhelfen.

LG C.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich zwar schon mal erwähnt aber jetzt nochmal mit Link...
http://de.wikipedia.org/wiki/Endlich_erz...abelsche_Gruppe
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte aber in der Vorlesung behandelt worden sein. Ansonsten ist es imho unangebracht, eine solche Aufgabe zu stellen.
C.Pistorius Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

den haben wir in LinA2 behandelt und dürfen ihn nach Aussage unseres Tutors nicht verwenden .. klasse =) Dann schaue ich mal wo ich weiter komme, danke
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte ja auch nur unangebracht, aber nicht schwer oder unmöglich.

Für den Fall 9 gibt es ja z.B. nur zwei Möglichkeiten:
a) Es exististiert ein Element der Ordnung 9
b) Ein solches Element exisiert nicht. Dann haben aber notwendigerweise alle anderen nichttrivialen Elemente die Ordnung 3
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