Zwischenwertsatz

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02.06.2004, 16:35	Moni	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Zeigen sie: Die Gleichung $\begin{align} \frac{(a+b)x+a-b}{x^2-1}+\frac{c}{x-2}=1 \end{align}$ besitzt für beliebige pos. relle Zahlen a,b,c sowohl im Intervall (-1,1) eine Lösung (1,2) eine Lösung OK, Um das mit dem Zwischenwertsatz zu machen, muss die Funktion in diesem Intervall stetig sein, f(x)>0 sollte für sehr große x und f(x)<0 sollte für sehr kleine x gelten und dann kann ich den Zwischenwertsatz ausrechnen. Um zu zeigen, das die Funktion (wenn man diese Gleichung überhaupt so bezeichnen kann) im Intervall stetig ist muss ich das doch in jedem Punkt diesen Intervalls zeigen oder? Aber wie kann ich davon den Stetigkeit bestimmen? Ich kapier halt einfach nicht, wie ich die Definition auf eine Aufgabe anwende. Gruß
02.06.2004, 17:59	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Ich denke nicht, dass du hier die Stetigkeit der Funktion zeigen sollst; bestimmt habt ihr doch den Satz zur Verfügung, dass alle rationalen Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind. Untersuche jetzt für das 1. Intervall die Grenzwerte $\begin{align} \lim_{x\to -1^+} f(x) \end{align}$ sowie $\begin{align} \lim_{x\to 1^-} f(x) \end{align}$ bzw für das 2. Intervall $\begin{align} \lim_{x\to 1^+} f(x) \end{align}$ und $\begin{align} \lim_{x\to 2^-} f(x) \end{align}$ Schau dir übrigens nochmal genau an, was der Zwischenwertsatz besagt, das klingt in deinem Text ein bisschen wirr; dann sollte sich die Aufgabe lösen lassen. Poste deine Versuche, falls du nicht weiter kommst, wir helfen dir dann.
02.06.2004, 19:11	Sar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, OK also ich hab jetzt folgendes gemacht: $\begin{align} f(x)=\frac{(a+b)x+a-b}{x^2-1}+\frac{c}{x-2}-1 \end{align}$ $\begin{align} f(x)=\frac{ax+a+bx-b}{x^2-1}+\frac{c}{x-2}-1 \end{align}$ $\begin{align} f(x)=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}+\frac{c}{x-2}-1 \end{align}$ $\begin{align} f(x)=\frac{a(x+1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{b(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{c}{x-2}-1 \end{align}$ $\begin{align} f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x-2}-1 \end{align}$ Daraus wird doch ersichtlich, das die Grenzwerte gar nicht existieren können, da 1/0 nicht def. ist oder (oder hat das was mit Unstetigkeitsstellen zu tun)? Na eigentlich doch, da ein Grenzwert ja nie erreicht wird, sondern sich die Folge unendlich nahe an diesen Wert annähert. HILFE
02.06.2004, 19:13	Moni	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beitrag ist natürlich von mir, hab nur eben ne ganze weile über nem Beitrag von Sar gesessen und dadurch irgendwie en Blackout eben gehabt. Sorry
02.06.2004, 19:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das is ja grad die Eigenschaft des Grenzwerts. Er wird ja nicht 0, denn x geht ja nur gegen 2 oder was auch immer, aber es wird nie 2. Das hast du ja mit deinem letzten Satz gesagt.
02.06.2004, 19:38	Moni	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wo liegen jetzt die Grenzwerte? Und wie hängt das mit der Aufgabe (Angabe ob es in den Intervallen eine Lösung gibt) zusammen?
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02.06.2004, 20:03	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist der Grenzwert von a/(x-1) mit a>0, wenn sich x von rechts der 1 annährt? Analog für die anderen; ein minus beim Grenzwert, wie ich ihn aufgeschrieben habe, bedeutet übrigens, dass der Grenzwert "von links" gebildet werden soll, ein plus entsprechend, dass er "von rechts" gebildet werden soll (ich denke, es müsste klar werden, was mit diesen umgangssprachlichen Formulierungen gemeint ist, wenn nicht, frag einfach nach). Schau dir bitte erstmal den Zwischenwertsatz an, dann müsstest du erkennen, wie sich mit diesen Grenzwerten deine Aufgabe lösen lässt.
02.06.2004, 20:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du mit von links bzw. rechts die Richtung auf dem Zahlenstrahl? Wenn ich mich also von oben der 1 annähere, ist das bei dir dann rechts??
02.06.2004, 20:23	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist das zu verstehen. Es sollen also im Falle des rechtsseitigen Grenzwertes größere Werte betrachtet werden, zum Beispiel eine Folge der Form 1.1; 1.01; 1.001 ... für 1
02.06.2004, 20:30	Moni	Auf diesen Beitrag antworten »
Also heißt, dadurch, das die Funktion in den Intervallen konvergiert, gibt es Folgen, die gegen -1 und 1 bzw. 1 und 2 konvergieren (wie wir jetzt gezeigt haben), das heißt sie sind beschränkt und besitzen somit ein Inf oder ein Sup (je nachdem wohin die Folge konvergiert). Das wiederum ist wichtig für den Zwischenwertsatz, welcher lautet: sei f: (a,b)->R stetig (was wir nun meiner Meinung nach durch die Konvergenz bewiesen haben) auf (a,b), wobei -oo <= a < b <= oo, und n $\begin{align} \in \mathcal{R} \end{align}$ mit c=inf f < n < sub=d (was ja nun existiert, wie wir gezeigt haben). Dann existiert ein e $\begin{align} \in \end{align}$ (a,b) mit f(e)=n. D.h. es existiert je eine Lösung in diesen Intervallen. War das jetzt richtig geschlussfolgert? Oder hab ich immer noch nen Gedankenfehler?
02.06.2004, 20:36	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Grenzwerten möchte ich zeigen, dass auf den betreffenden Intervallen gilt $\begin{align} c=inf f = -\infty \end{align}$ $\begin{align} d=sup f = \infty \end{align}$ Damit gilt auf sicher c<0<d und deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein x0 aus den betreffenden Intervallen mit f(x0)=0, womit die Aufgabe gelöst ist. Mir scheint, als sei da noch einiges ziemlich wirr bei dir. Über die Stetigkeit rede ich im Moment gar nicht, die kann man, nehme ich an, voraussetzen (ihr habt die Stetigkeit der rationalen Funktionen doch bestimmt mal bewiesen, oder nicht?). Von Konvergenz rede ich auch nicht, ich zeige nur, dass sowohl das Bild von (-1,1) als auch das von (1,2) gerade (-oo,oo) ist, womit sicher jede reelle Zahl ein Urbild hat (siehe Zwischenwertsatz), also auch die 0 und damit ist die Aufgabe gelöst.
03.06.2004, 10:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Zwischenwertsatz anwenden sollst, brauchst du eine stetige Funktion auf [-1,1]. Ganz einfach. x ist eine Lösung der Gleichung genau dann, wenn $\begin{align} \\|x\\| \neq 1 \end{align}$ und $\begin{align} f(x) := (a+b)x + a-b + \frac{c (x^2 - 1)}{x-2} - x^2 + 1 = 0 \end{align}$ . f ist stetig auf [-1,1], und es ist $\begin{align} f(-1) = -2b < 0 \end{align}$ $\begin{align} f(1) = 2a > 0 \end{align}$ . Tja, und das zeigt die Behauptung, ne? Für das andere Intervall macht man das gleiche.

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