Äquivalenzrelationen

16.11.2008, 22:04

Andy Mcke

Äquivalenzrelationen

Guten Abend,

Ich zerschlage mir seit gestern den Kopf und komme einfach nicht hinter folgendes:

1) Ist $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation auf M. so bilden Äquivalenzklassen definiert durch

$\begin{eqnarray*} [m]_{0} := \{m \in M | m \sim m_{0} \} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m_{0} \in M \end{eqnarray*}$ eine Partition von M. Diese wird überlicherweise mit $\begin{eqnarray*} M/\sim \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

2) Ist P eine Partition von M, so ist $\begin{eqnarray*} \sim_{P} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} m \sim_{P} n \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn ein $\begin{eqnarray*} X \in P \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} m \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in X \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation.

3) Es gilt $\begin{eqnarray*} M/\sim _{P} = P \end{eqnarray*}$ für alle Partitionen P von M und
$\begin{eqnarray*} \sim_{M}/\sim = \sim \end{eqnarray*}$ für jede Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf M.

Zur 1) habe ich soweit verstanden.

Zur 2) ist glaub ich nicht viel zu fragen. Ausser wie kann man eine Äquivalenzrelation auf M auf P anwenden?

Zur 3) Wie erklärt sich das Modulozeichen? Warum ist $\begin{eqnarray*} M/\sim _{P} = P \end{eqnarray*}$ was genau wird da gemacht und den letzten Teil kann ich auch nicht nachvollziehen.

Wäre nett von euch mir das zu erläutern und auf Literatur zu verweisen wo das genau behandelt wird.

17.11.2008, 00:42

Andy Mcke

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, geschätze 5 Stunden später bin ich soweit, dass ich 1) und 2) ganz verstanden und bewiesen habe.

Bei 3 habe ich auch $\begin{eqnarray*} M/\sim _{P} = P \end{eqnarray*}$ bewiesen. Nur $\begin{eqnarray*} \sim_{M}/\sim = \sim \end{eqnarray*}$ verstehe ich noch nicht. Irgendwer eine Idee?

17.11.2008, 14:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Andy Mcke
Nur $\begin{eqnarray*} \sim_{M}/\sim = \sim \end{eqnarray*}$ verstehe ich noch nicht. Irgendwer eine Idee?

Lies es mal so:

$\begin{eqnarray*} \sim_{(M/\sim)} ~=~ \sim \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

17.11.2008, 20:39

Andy Mcke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das Stück hat gefehlt. Jetzt versteh ich's. Vielen Dank.

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelationen

Verwandte Themen