Folgen

17.11.2008, 13:17

Sandro17

Folgen

Gegeben seien zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ von reellen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , und es sei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) =0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es genau eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} a_n<x_0<b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie kann ich da vorangehen:
Ich muss ja irgendwie geschickt meine Voraussetzungen anwenden können, aber wie ist mir zurzeit ein Rätsel.
Die Folge $\begin{eqnarray*} c_n:=b_n-a_n\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ sagt aus, dass: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_0\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \forall n>n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-b_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Was sagt mir das aus?
Vielleicht, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist?
Ich könnte den Betrag auch auflösen:
Dann hätte ich doch stehen:
$\begin{eqnarray*} a_n<b_n+\epsilon \wedge b_n<a_n+\epsilon\Rightarrow b_n>a_n-\epsilon \wedge a_n>b_n-\epsilon \end{eqnarray*}$

Aber hilft mir das alles überhaupt weiter?
Bin dankbar für jede Hilfe.

17.11.2008, 13:25

klarsoweit

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RE: Folgen
Zeige erstmal, daß die Folgen (a_n) und (b_n) konvergent sind.

Da die Differenz der Folgen gegen Null konvergiert, haben beide Folgen denselben Grenzwert g.

Zeige dann, daß a_n < g < b_n gilt.

Zum Schluß nimmst du an, daß es noch eine Zahl x_1 gibt, mit a_n < x_1 < b_n.
Führe das zu einem Widerspruch.

17.11.2008, 13:27

tmo

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$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton und beschränkt, also konvergent. Sei $\begin{eqnarray*} a := \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ .

Zeige zunächst $\begin{eqnarray*} a := \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du folgern $\begin{eqnarray*} a_n < a < b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Danach musst du nur noch die Eindeutigkeit folgern, sprich dass es keine Zahl $\begin{eqnarray*} b \neq a \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} a_n < b < b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nehme dazu deren Existenz an und folgere einen Widerspruch.

edit: bissl langsam...

17.11.2008, 13:44

Sandro17

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RE: Folgen
Ok.

Da $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n\Rightarrow a_n \ \text{monoton steigend} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} b_n>b_{n+1} \Rightarrow b_n \ \text{monoton fallend} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} b_n = \ \text{monoton fallend} \wedge b_n>a_n \Rightarrow a_n \ \text{beschränkt} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_n= \ \text {monoton steigend} \wedge b_n>a_n \Rightarrow b_n \ \text{beschränkt} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} a_n, b_n \end{eqnarray*}$ konvergent.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} a_n<x_0<b_n \end{eqnarray*}$

Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ für das gilt:
$\begin{eqnarray*} a_n<x_1<b_n \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt mir nicht ein wie ich auf einen Widerspruch kommen könnte.
Und ob das bis hierhin richtig ist weiß ich auch nicht.

17.11.2008, 14:20

klarsoweit

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RE: Folgen

Zitat:

Original von Sandro17
Wegen $\begin{eqnarray*} b_n = \ \text{monoton fallend} \wedge b_n>a_n \Rightarrow a_n \ \text{beschränkt} \end{eqnarray*}$ und

Besser: Wegen a_0 < a_n < b_n < b_0 ist a_n nach oben und b_n nach unten beschränkt.

Zitat:

Original von Sandro17
Es gilt: $\begin{eqnarray*} a_n<x_0<b_n \end{eqnarray*}$

Was soll denn dieses x_0 sein und warum sollte das gelten?

17.11.2008, 14:29

Sandro17

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RE: Folgen
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ soll der Grenzwert der beiden Folgen sein.
Da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist, ist es stets kleiner als dieser Grenzwert und umgekehrt $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ stets größer.

17.11.2008, 14:43

klarsoweit

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RE: Folgen
Das stimmt zwar, aber bewiesen ist das nirgendwo. Also da geht kein Weg dran vorbei. Da muß noch ein Beweis her.

17.11.2008, 14:52

Sandro17

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RE: Folgen
Irgendwie kriege ich das nicht gescheit hin das zu beweisen. verwirrt

Wie kann ich das denn beweisen?

17.11.2008, 15:08

klarsoweit

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RE: Folgen
Erstmal sollte man die Aussage aufteilen in a_n < x_0 und b_n > x_0 für alle n aus N.

Meistens tut man sich mit einem Beweis leichter, wenn man mal das Gegenteil annimmt.

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