Beweis mit Fakultät

29.08.2006, 02:15

Samy355

Beweis mit Fakultät

Und wieder ein Problem ich dreh noch durch mit der Mathematik.

Aufgabe soll beweisen das die Gleichung stimmt.

Gleichung :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2k \\ \\ k \end{pmatrix} * 4^{-k} = \frac{1*3*5 ... (2k-1)}{2*4*6 ... (2k)} \end{eqnarray*}$

k ist Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Nun mein Hauptproblem ist eigentlich das $\begin{eqnarray*} 4^{-k} \end{eqnarray*}$ weil ich damit am wenigsten anzufangen weis um das umzuformen. Ich habe es jetzt erstmal zu $\begin{eqnarray*} (1/4)^k \end{eqnarray*}$ umgewandelt weil es dann schon etwas netter aussieht.... bringt aber auch nichts weil ich nicht weis wie ich das dort reinfummeln kann das es weg ist und die beiden Seiten gleich werden. Ok also meine bisherigen Schritte laufen darauf hinaus das ich die rechte Seite erstmal zu Fakultäten umgeschrieben habe. Dann versucht die linke Seite darauf hinaus aufzubauen. Lande dann bei etwas wie

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!}{k!(2k-k)!} * (\frac {1}{4})^k = \frac {(2k-1)!} {(2k)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!}{k! * k!} * (\frac {1}{4})^k = \frac {(2k-1)!} {(2k)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!}{k!} * (\frac {1}{4})^k = \frac {(2k-1)!} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * (2k)! * (\frac {1}{4})^k = (2k-1)! * k! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * (2k-1)! * 2k * (\frac {1}{4})^k = (2k-1)! * k! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * 2k * (\frac {1}{4})^k = k! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * 2k * (\frac {1}{4})^k = (k-1)! * k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 * (\frac {1}{4})^k = (k-1)! \end{eqnarray*}$

Und nun weis ich nicht mehr weiter weil ich keine Ahnung habe was ich mit dem hoch k Ding anfangen kann. Und abgesehen davon muß da auch noch irgendwo ein Fehler sein, weil das wenn man es mit paar Zahlen probiert gar nicht mehr gleich ist.

29.08.2006, 02:59

JochenX

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fängt leider gleich in der ersten Zeile an.

Betrachte nochmal genauer:
$\begin{eqnarray*} 2*4*6*...*(2k)=?2k! \end{eqnarray*}$ , das ist nämlich schon falsch.
verglichen mit k! bekommst du links für JEDEN Faktor den Faktor 2 zusätzlich, also brauchst du rechts $\begin{eqnarray*} 2^?k! \end{eqnarray*}$

29.08.2006, 09:15

klarsoweit

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RE: Beweis mit Fakultät
Und den Beweis würde ich mit vollständiger Induktion angehen.

29.08.2006, 15:15

Samy355

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Zitat:

Original von LOED
fängt leider gleich in der ersten Zeile an.

Betrachte nochmal genauer:
$\begin{eqnarray*} 2*4*6*...*(2k)=?2k! \end{eqnarray*}$ , das ist nämlich schon falsch.
verglichen mit k! bekommst du links für JEDEN Faktor den Faktor 2 zusätzlich, also brauchst du rechts $\begin{eqnarray*} 2^?k! \end{eqnarray*}$

Wieso das? Bei (2*k)! habe ich für

k=1 = 2
k=2 = 4
K=3 = 6
k=4 = 8
K=k = 2k
also bei k=k währe es 2 * 4 * 6 * ...... * 2k

Vollständige Induktion ja kann ich auch mal versuchen.

29.08.2006, 15:20

JochenX

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Zitat:

Original von Samy355
Wieso das? Bei (2*k)! habe ich für

k=1 = 2
k=2 = 4
K=3 = 6
k=4 = 8
K=k = 2k
also bei k=k währe es 2 * 4 * 6 * ...... * 2k

kannst du diese vielen falschen Gleichungen noch in eine verständliche Aussage umformulieren?

versuchs aus:
k=3: 2*3!=12, aber 2*4*6=48=2^3*3!
k=5: 2*5!=240, aber 2*4*6*8*10=3840=2^5*5!

usf.

29.08.2006, 15:31

Samy355

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Du vergisst immer die Klammern zu setzen (2*3)! ist nicht 6 sondern 720. Aber es geht trotzdem nicht... weil er dann ja 1*2*3*4*5*6 machen würde ja .. Dennoch was mache ich mit dem 1/4 hoch k ?

29.08.2006, 15:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Samy355
Wieso das? Bei (2*k)! habe ich für

k=1 = 2
k=2 = 4
K=3 = 6

Hmm.

Für k=2 habe ich: (2*k)! = (2*2)! = 4! = 24
Für k=3 habe ich: (2*k)! = (2*3)! = 6! = 720

29.08.2006, 16:02

JochenX

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Zitat:

Original von Samy355
Du vergisst immer die Klammern zu setzen

nein, das hast du nachträglich noch hineditiert!

Am Anfang stand oben $\begin{eqnarray*} 2k! \end{eqnarray*}$ , jetzt $\begin{eqnarray*} (2k)! \end{eqnarray*}$ .
Jetzt so zu tun, als hätte das die ganze Zeit da gestanden, ist ziemlich frech.
Hast du den Hinweis mit dem "keine Inhaltlichen Sachen editieren" gelesen??

Das (2k)! und 2*4*6*... noch offensichtlicher verschieden sind.....

Ach, aber was rede ich. Dein Editierungsbetrugsversuch nimmt mir die Lust, dir hier weiter zu helfen.

30.08.2006, 04:00

Samy355

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Ich bin ein Betrüger sperrt mich ein , nein mal nicht alles so ernst nehmen das Leben ist schön.
Es fehlten zwei Klammerungen von 15 vorhandenen. Und wieso sollte ich diese Klammern weglassen wenn diese da hingehören? Ich habe diese dahingemacht nachdem ich geschrieben habe das du vergisst das dort eine Klammer ist. Weil ich dort nochmal den Ursprünglichen Beitrag angeschaut habe und dort die 2 Klammern fehlten. Dann habe ich diese dazu gefügt. Leider ist mir dann auch aufgefallen das es so eh nicht gehen wird also ist es eh total egal was wo steht weil es eh falsch ist.

Habs jetzt mit Vollständiger Induktion gemacht oder eher versucht.

Induktionsanfang ist simpel k=1 , beide Seiten werden = 0,5.
Gut dann Induktionsschritt k=k+1.

Habe dann die Rechte Seite umgebaut auf
$\begin{eqnarray*} \frac {1*3*5....*(2k-1)} {2*4*6...*(2k)} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

Gibts da was dran auszusetzen? Oben habe ich den nächsten Ungeraden Schritt also 2k+1 rausgezogen und unten den nächsten gerade 2k+2. Somit habe ich dort die gleiche Form wie im Induktionsanfang und kann dies zu 1/2 umwandeln.
Weiter stelle ich dann die linke Seite um

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k+2)!} {(k+1)! * (k+1)!} * (\frac {1}{4})^{k+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)! * (2k+1) * (2k+2)} {(k)! * (k+1) * (k)! * (k+1)} * (\frac {1}{4})^{k} * (\frac {1}{4}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)! * (2k+2) * (2k+2)} {(k)! * (k+1) * (k)! * (k+1)} * (\frac {1}{4})^{k} * (\frac {1}{4}) * \frac {(2k+1)}{(2k+2)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)! * 2 * (k+1) * 2 * (k+1)} {(k)! * (k+1) * (k)! * (k+1)} * (\frac {1}{4})^{k} * (\frac {1}{4}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {(k)! * (k)!} * (\frac {1}{4})^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

So und wo ist nun wieder der Fehler? smile

.... Und mal abgesehen davon wenn keiner da währe, wüßte ich nun trotzdem nicht mehr weiter. Weil ich nicht weiß womit ich nun das 1/4 hoch k auf der linken Seite wegbekomme oder das auf die rechte Seite dazu bekomme. Was macht man da? Oder wie sieht die Lösung zu der Aufgabe aus?

30.08.2006, 07:38

Egal

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Zitat:

Weiter stelle ich dann die linke Seite um

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k+2)!} {(k+1)! * (k+1)!} * (\frac {1}{4})^{k+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

Irrtum nicht ausgeschlossen erscheint mir diese Gleichheit doch etwas fragwürdig. Wo hast du die denn herbekommen?

Edit: nach einer Tasse Kaffee seh ich die sache etwas klarer

Zitat:

Gibts da was dran auszusetzen? Oben habe ich den nächsten Ungeraden Schritt also 2k+1 rausgezogen und unten den nächsten gerade 2k+2. Somit habe ich dort die gleiche Form wie im Induktionsanfang und kann dies zu 1/2 umwandeln.

Daran gibts in der Tat was auszusetzen. Das was du bekommst wenn du die beiden Faktoren rausziehst ist nämlich nicht das was du am Induktionsanfang hattest. Da war k=1 und da hier nicht k=1 gilt ist natürlich auch der ganze Term nicht gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

30.08.2006, 09:47

klarsoweit

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Demzufolge mußt du den Term

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k+2)!} {(k+1)! \cdot (k+1)!} \cdot (\frac {1}{4})^{k+1} \end{eqnarray*}$

umformen auf
$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {k! \cdot k!} \cdot (\frac {1}{4})^k \end{eqnarray*}$

Dann kannst die Induktionsvoraussetzung anwenden.

30.08.2006, 15:58

Samy355

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Zitat:

Original von Egal

Zitat:

Aber k ist doch im Induktionsschritt nie gleich 1 ? Warum geht es bei der Aufgabe nicht habe es so schon bei zich anderen auch gemacht?

Zitat:

Original von klarsoweit
Demzufolge mußt du den Term

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k+2)!} {(k+1)! \cdot (k+1)!} \cdot (\frac {1}{4})^{k+1} \end{eqnarray*}$

umformen auf
$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {k! \cdot k!} \cdot (\frac {1}{4})^k \end{eqnarray*}$

Dann kannst die Induktionsvoraussetzung anwenden.

Das hab ich ja sogar schon die linke Seite ist ja genau das zum schluß. Aber wieso kann ich es dort anwenden und auf der rechten Seite nicht?

30.08.2006, 16:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Samy355
Aber k ist doch im Induktionsschritt nie gleich 1 ? Warum geht es bei der Aufgabe nicht habe es so schon bei zich anderen auch gemacht?
so kann ich es dort anwenden und auf der rechten Seite nicht?

Die würde ich gern mal sehen.

Also: Das Ziel beim Induktionsschritt ist, die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k+2)!} {(k+1)! * (k+1)!} * (\frac {1}{4})^{k+1}= \frac {1*3*5....*(2k-1)} {2*4*6...*(2k)} * \frac {(2k+1)} {(2k+2)} \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Dabei darfst du verwenden, daß gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {k! * k!} * (\frac {1}{4})^{k}= \frac {1*3*5....*(2k-1)} {2*4*6...*(2k)} \end{eqnarray*}$

Deswegen mußt du die linke Seite der 1. Gleichung so umformen, daß du auf die linke Seite der 2. Gleichung kommst,
um dann dafür die rechte Seite der 2. Gleichung einsetzen. Dann sollte nach weiteren umformungen die rechte Seite der 2. Glewichung rauskommen.

30.08.2006, 16:28

Samy355

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Ja ich sehe gerade ich hab mal wieder blödsinn gemacht im Hirn. Die 1/2 ist unsinn. Da kommt die gleichung aus dem Induktionsanfang hin so wie du sagst ja

$\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {(k)! * (k)!} * (\frac {1}{4})^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {(2k)!} {(k)! * (k)!} * (\frac {1}{4})^{k} \end{eqnarray*}$

Fertig TaraAAa ....

Und ne Idee wie ichs ohne Induktion machen kann habe ich auch da im Nenner eine Doppelfakultät ist und diese umgeschrieben werden kann in 2^k * k! könnte es damit gehen mm muß ich mal nochmal rechnen.

Oh doch nicht aber .. mm irgendwie gehts.

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