Randextrema berechnen

17.11.2008, 14:01

Tobiii

Randextrema berechnen

Hallo,
ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3-5x^2-3x+9 \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen sie lokale sowie Randextrema der vorliegenden Funktion.

Die relativen Extrema habe ich bereits bestimmt (x1=-1/3; x2=-3).
Wie berechne ich jetzt die Randextrema?
Bisher habe ich den Definitionsbereich immer bereits vorgegeben gehabt und einfach die äußeren Zahlen eingesetzt.
Aber den habe ich hier ja nicht. Wie berechne ich die nun?

17.11.2008, 14:08

tigerbine

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Sollst du die Funktion vielleicht nur auf einem bestimmten Intervall betrachten?

17.11.2008, 14:23

Tobiii

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Das ist so die ganze Aufgabe.
Jedenfalls ist das Teil 2 von 3 Aufgabenteilen.
Aufgabe 1 war, die Funktion zu erstellen.
Aufgabe 2 ist jetzt lediglich diese hier.

Aufgabe 3 ist Folgende:
c) Bestimmen Sie von allen achsenparallelen Rechtecken mit dem Ursprung als einem Eckpunkt und dem Punkt (x/f(x)) als gegenüber liegendem Echpunkt im 1. Quadranten des Koordinatensystems dasjenige mit maximalem Inhalt.

Anders scheint es ja nicht zu gehen, also nehme ich mal an, dass c) mit b) zusammenhängt.
Dann wär der Definitionsbereich ja [0;1] (die Nullstelle 1 habe ich bereits berechnet. Ist die einzige, die >0 ist).
Dann finde ich die Aufgabe aber ziemlich unglücklich gestellt.
In c) steht ja nicht einmal der Bezug zu b)...

17.11.2008, 14:27

Tobiii

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Heißt das jetzt, dass ich die beiden Extrema, die ich berechnet habe, wieder streichen kann, weil ich bei der nächsten Teilaufgabe erfahren habe, dass die nicht im Definitionsbereich liegen?
Also müsste ich erst teilweise b), dann c) machen und dann erst die Randextrema bei b) berechnen und merken, dass die anderen Extrema gar nicht von Bedeutung sind...?

17.11.2008, 14:27

tigerbine

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Doch, da steht dann schon ein Bezug. Die Funktion für den Flächeninhalt hast du ja selbst aufgestellt und in diesem Zusammenhang kommt dann auch das Intervall ins Spiel. Das muss nicht extra angegeben werden. Augenzwinkern

Damit man dir wirklich helfen kann, müsstest du dir die Mühe machen, alle Aufgabenteile einmal abzutippen. Wink

17.11.2008, 14:37

Tobiii

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Naja, das war ja quasi alles:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit minimalem Grad, die bei x=1 eine Nullstelle besitzt, bei x=-3 einen Tiefpunkt und bei W(-5/3 | 4 20/27) einen Wendepunkt.

a) Begründen Sie den Mindestgrad 3 und erstellen Sie die Funktionsgleichung.
(Kontrolle: f(x)=-x³-5x²-3x+9)
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen, Extrema, Wendestellen und zeichnen Sie den Funktionsgraphen.
c) Bestimmen Sie von allen achsenparallelen Rechtecken mit dem Ursprung als einem Eckpunkt und dem Punkt (x/f(x)) als gegenüber liegendem Echpunkt im 1. Quadranten des Koordinatensystems dasjenige mit maximalem Inhalt.

Bei a) habe ich das Gleiche raus, was die Lehrerin bei der Kontrolle stehen hat.
Bei b) habe ich die Nullstellen x=-3 und x=1.
Die Extrema sind bei x=-1/3 und x=-3.
Die Wendestelle habe ich noch nicht, gezeichnet auch noch nicht.

Also, wie ich das jetzt sehe, liegt der Definitionsbereich eben zwischen 0 (Echpunkt des Rechtecks im Ursprung) und 1 (einzige Nullstelle, die größer als 0 ist, was beim 1. Quadranten ja gegeben sein muss).
Also Df[0;1].

Soll ich damit jetzt die Funktion auf Randextrema prüfen?
Was mache ich mit den bereits berechneten Extrem- und Nullstellen (die ich bei b) nunmal berechnen musste), die nicht im Definitionsbereich liegen?

17.11.2008, 14:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tobiii
Also, wie ich das jetzt sehe, liegt der Definitionsbereich eben zwischen 0 (Echpunkt des Rechtecks im Ursprung) und 1 (einzige Nullstelle, die größer als 0 ist, was beim 1. Quadranten ja gegeben sein muss).
Also Df[0;1].

Soll ich damit jetzt die Funktion auf Randextrema prüfen?
Was mache ich mit den bereits berechneten Extrem- und Nullstellen (die ich bei b) nunmal berechnen musste), die nicht im Definitionsbereich liegen?

Nun mal langsam. Du mußt unterscheiden zwischen der Funktion f(x) und einer Funktion A(x), die die Fläche des gesuchten Rechtecks angibt. Für die Funktion f(x) ist der Definitionsbereich die reellen Zahlen. Da ist von Bestimmung eines Randextremums auch nicht die Rede.

Stelle also erstmal die Flächenfunktion A(x) auf.

17.11.2008, 14:45

tigerbine

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ok, dann können wir uns Teil a schenken. Bei B beschränkte ich mich auf den Plot.

Nun kommen wir zum Interessanten Teil c. Hier bei Konstruieren wir eine neue Funktion A. Eine Ecke ist der Ursprung, eine Ecke liegt auf dem Graphen von f Im erstem Quadraten!. Somit ergibt sich mit der "Rechtecksformel"

$\begin{eqnarray*} A(x) = (x-0) \cdot (f(x)-0) = x \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Aufgrund des Verlaufs von f können wir dann einschränken, dass x aus [0,1] stammen soll.

17.11.2008, 14:51

Tobiii

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Das werde ich erst später machen, es geht erstmal nur um b).
Und zwar meinte unsere Lehrerin, dass wir auf jeden Fall auch Randextrema prüfen müssen.
Das war ja meine ursprüngliche Frage.
Wie berechne ich die ohne Definitionsbereich?
Anscheinend geht das nicht, also werd ich das dann erstmal lassen und warten, was die Lehrerin dazu sagt.

@tigerbine
Wie gesagt, das wollte ich später mit 'nem Freund zusammen machen; die Zielfunktion hatte ich auch schon in der Schule fertig.
Danke für die Hilfe.
Ich werd mich nochmal melden, wenn ich irgendwelche Probleme kriege. smile

17.11.2008, 14:53

tigerbine

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Ich bin mir Ziemlich sicher, dass sie Randwextrema bei c) meinte.

17.11.2008, 14:54

Tobiii

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Das kann natürlich sein.
Nur erwähnte sie in einem Satz, dass wir vor der Klausur nochmal Nullstellen, Extrema, Randextrema und Wendestellen üben können und deutete auf b) hin.
Dann wird sich das wohl auf c) beziehen.
Ich schätze mal, dass das ja nicht allzu schwer werden sollte. smile

17.11.2008, 18:46

Zelos

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Huhu, ich habe die Aufgabe gerade mit Tobi zusammen gerechnet und wollte mich absichern, ob das so stimmt.

$\begin{eqnarray*} A(x)=x*f(x) \end{eqnarray*}$ ist ja die Zielfunktion.
f(x) dort eingesetzt und Klammer aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} A(x)=-x^4-5x^3-5x^2+9x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'(x)=-4x^3-15x^2-6x+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''(x)=-12x^2-30x-6 \end{eqnarray*}$

Nach Kriterium die erste Ableitung null gesetzt:

$\begin{eqnarray*} x^3+3,75x^2+1,5x-2,25=0 \end{eqnarray*}$

Nach Polynomdivision kam Folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} x^2+0,75x-0,75 \end{eqnarray*}$

Das wiederum null gesetzt und mit pq-Formel diese beiden (ungefähren) x-Werte berechnet:
$\begin{eqnarray*} x1=0,57 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=-1,32 \end{eqnarray*}$

Da der Definitionsbereich zwischen 0 und 1 liegt, haben wir nur x1 in die zweite Ableitung eingesetzt, wo sich herausstellte, dass dort ein Maximum vorhanden ist.

Dann noch 0,57 in die Ausgangsfunktion eingesetzt und für den maximalen Flächeninhalt ~3,12 herausbekommen.
Randextrema geprüft (bei 0 und 1 ist A logischerweise 0; bei 0,5 zur Kontrolle 3,0625).

Wie lautet jetzt der Lösungssatz?
"An der Stelle 0,57..." passt nicht so ganz zur Aufgabenstellung.
Irgendeinen Vorschlag, wie man das formulieren könnte?
Und ist das überhaupt richtig so?

17.11.2008, 19:08

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(x)=-x^4-5x^3-5x^2+9x \end{eqnarray*}$

17.11.2008, 19:11

Zelos

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Das sollte
$\begin{eqnarray*} A(x)=-x^4-5x^3-3x^2+9x \end{eqnarray*}$
heißen, sorry. Hab mich verschrieben.

Nach dem Einsetzen hatte ich ja

$\begin{eqnarray*} A(x)= x*(-x^3-5x^2-3x+9) \end{eqnarray*}$

Das ausmultipliziert sollte die Funktion von oben ergeben.

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