Erweiterung von Körpern

17.11.2008, 19:12

kingskid

Erweiterung von Körpern

Hallo,
man soll die Grade der folgenden Erweiterungen von Körpern raten:

1.) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} ) \supset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}}) \supset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}} + \sqrt{3 - \sqrt{2}}) \supset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich da herangehen um doch irgenwie zuindest etwas sinnvoll zu raten??

17.11.2008, 19:48

Reksilat

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RE: Erweiterung von Körpern
Ihr sollt tatsächlich raten? LOL Hammer

Ein bisschen mehr muss schon kommen, denn beim raten kann Dir keiner helfen. Ich könnte Dir die richtige Lösung verRATEN, aber das ist ja nicht gefordert. VerSUCHE doch mal ein Polynom zu finden, das $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt{3+\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat.

btw: Welchen Erweiterungsgrad hat eigentlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ? Müsstest Du da auch raten oder weißt Du das?

17.11.2008, 20:18

kingskid

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Hallo,
ja, nach unsrem Prof ist das "russische Mathematik" oder "Intutition entwickeln" wenn man raten soll...
Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und das den Grad 4 hat. Deshalb hätte ich mal "geraten" dass 1.) vielleicht den Grad 6 hat weil ja noch eine Wurzel hinzukommt??

Hm, wie kann ich einfach ein Polynom finden, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat?
Einfach z.B. $\begin{eqnarray*} p(x) = (x-\alpha)^2 \end{eqnarray*}$ ??

Wir haben noch die Aussage, dass
$\begin{eqnarray*} K[(\alpha_1,...,\alpha_n):K] \; \mbox{teilt} \quad n! \end{eqnarray*}$ .

Und ja, heute ist in der VL aufgetaucht, dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(2^{1/3}): \mathbb{Q}] = 3 \end{eqnarray*}$ . Aber ich weiß nicht... kannst du mir damit beim Raten weiterhelfen...?? Das wäre wirklich cool, woher weißt du die Grade??

17.11.2008, 21:41

Reksilat

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Raten ist aber nur sinnvoll, wenn man ungefähr eine Ahnung hat, was man da tut.

Ich kann Dir leider auch nur helfen, wenn Du eine ungefähre Ahnung davon hast, was eine Körpererweiterung und was der Grad ist. Wenn Du nicht weißt weshalb $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2 \end{eqnarray*}$ ist oder was das ganze mit Polynomen zu tun hat, so artet das in unsinnige Vermutungen aus. Ich kann Dir beim ausrechnen helfen, aber dafür benötigst Du dann auch etwas Hintergrundwissen, da ich ja nicht alles erklären will.

Zitat:

Original von kingskid
Wir haben noch die Aussage, dass
$\begin{eqnarray*} K[(\alpha_1,...,\alpha_n):K] \; \mbox{teilt} \quad n! \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist falsch, wie Du ja selbst unten widerlegst, indem Du mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(2^{1/3}): \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ eine einfache Körpererweiterung vom Grad drei angibst.

Zum Polynom und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ vielleicht doch noch ein Tipp:
Versuche mal mit Lineaerkombinationen der Potenzen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Null zu erzeugen. (Linearkombinationen über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ )

18.11.2008, 18:10

kingskid

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Hallo,
danke für den Tipp. Also ich hab mal ein Potenzen von alpha berechnet:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt{3+ \sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha^2 = 3 + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha^3 = 3 \sqrt{3+\sqrt{2}} + \sqrt{2} \sqrt{3 + \sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha^4 = 11 + 6 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha^6 = 45 + 29 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ich hab allerdings noch keine Linearkombination davon gefunden um die Null dazustellen...
Aber vielleicht könntest du mir doch nochmal erklären, was der Grad mit den Nullstellen und den Polynomen zu tun hat? Irgendwie ist das alles so abstrakt für mich ;-(
Und magst du mir deine Lösungen vielleicht verraten? Ich weiß, eigentlich sollte man selbst daraufkommen, aber hier ist es vielleicht doch ganz hilfreich ein paar mehr Beispiel zu diesen Aufgaben zu haben...

18.11.2008, 18:40

Reksilat

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \alpha^2-3 \end{eqnarray*}$ ?

18.11.2008, 19:43

kingskid

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$\begin{eqnarray*} \alpha^2 - 3 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Sorry, ich muss nachfragen, was heißt das nun?

19.11.2008, 11:43

Reksilat

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Do sollst mit Kombionationen von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Null erzeugen, um so ein Polynom mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu konstruieren.
Was ist denn $\begin{eqnarray*} (\alpha^2-3)^2-2 \end{eqnarray*}$ ?

btw: Wie wurden bei Euch denn Körpererweiterungsgrade definiert?

19.11.2008, 16:27

kingskid

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Hallo,
ja eigentlich so mit $\begin{eqnarray*} L \supset K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [L:K] = dim_K L \end{eqnarray*}$ ,
also quais wie viele Basiselemente man braucht um Element aus L darzustellen, wobei die Linearkombinationen ja dann von Elementen aus K sind.
Wenn beim ersten Grad 6 ja falsch war, dann ist es wohl 2*2*2=8, wusste nicht ob addieren oder multiplizieren.

19.11.2008, 16:58

Reksilat

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Jo, acht ist richtig. geschockt

Man hat dann die Basis: $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15},\sqrt{30}\} \end{eqnarray*}$
Ein anderer Weg dies zu sehen ist es, sich die Zwischenkörper anzuschauen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
Erweiterungsgrad jeweils 2.

In den weiteren Fällen hast Du einfache Erweiterungen $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ und dann ist der Erweiterungsgrad gerade der Minimalgrad eines Polynoms aus $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ als Nullstelle.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ hat Grad zwei, da es kein kleineres Polynom als $\begin{eqnarray*} x^2-2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ gibt, das $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat.

(Je mehr Informationen Du gibst, desto mehr erhältst Du i.A. auch zurück)

Edit: Hoppla, Dein Körper war ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ . Ist aber auch nicht so schlimm, man muss nur zeigen, dass man mit Kombinationen der Potenzen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ jede einzelne dieser drei Wurzeln erzeugen kann, dann sieht man auch, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ist.

19.11.2008, 19:04

kingskid

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Ah, okay cool. Danke für die Erklärungen, die helfen mir auf jeden Fall schon mal weiter...

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