Grenzwertbestimmung

18.11.2008, 15:11

Chrisss

Grenzwertbestimmung

Hi

Ich hätte gerne mal einen Tip, um folgenden Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (2\sqrt{n²+5n}+\sqrt{16n²-24n+61}-\sqrt{36n²+3}) \end{eqnarray*}$

Habe schonmal für n große Zahlen eingesetzt und man erhält 2.

Nur wie kann ich zeigen, dass das auch stimmt?

Hab es schon mit quadrieren und dann zusammfassen probiert, aber leider hat mich das nicht weitergeführt.

Hab dann versucht einzeln die Grenzwerte zu betrachten, nur da kommt man irgendwie auf unendlich, was ja nicht sein kann.

Also falls jemand einen Trick sieht, wäre ich sehr dankbar Freude

18.11.2008, 15:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwertbestimmung
Im ersten Schritt würde ich mit $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{n^2+5n} + \sqrt{16n^2-24n+61} + \sqrt{36n^2+3} \end{eqnarray*}$ erweitern.

18.11.2008, 16:12

Chrisss

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man auch theoretisch teilen durch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n²+5n} \end{eqnarray*}$

und bekäme dann:

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{\sqrt{16n²-24n+61} -\sqrt{36n²+3}}{\sqrt{n²+5n}} \end{eqnarray*}$

da bleibt vorne die 2 und hinten müsste man den Grenzwert noch betrachten?

18.11.2008, 16:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese 2 hat mit dem Grenzwert nichts zu tun. unglücklich

----------------------

Wenn man weiß, wo die Sache hinläuft, kann man den Grenzwert auch so aufteilen:

$\begin{eqnarray*} && \lim_{n\to\infty} (2\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{16n^2-24n+61}-\sqrt{36n^2+3})\\ &=& \lim_{n\to\infty} \left (2\sqrt{n^2+5n}-\frac{1}{3}\sqrt{36n^2+3} \right) ~ + ~\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{16n^2-24n+61}-\frac{2}{3}\sqrt{36n^2+3} \right) \end{eqnarray*}$

Das stimmt selbstverständlich nur, wenn die beiden Grenzwerte unten auch tatsächlich existieren, was die weitere Rechnung (wie üblich über die Erweiterung $\begin{eqnarray*} a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b} \end{eqnarray*}$ ) dann noch zeigen muss.

18.11.2008, 18:28

Chrisss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß auch nicht, irgendwie komme ich da immer noch zu keinem Ergebnis, wenn ich das so umformen würde, da hab ich doch im Nenner hässliche Wurzeln dann und zusammenzufassen weiß ich da auch nichts verwirrt

19.11.2008, 09:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn jetzt den Tipp von Arthur Dent beachtet? Damit geht es jedenfalls am einfachsten.

20.11.2008, 15:04

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur ein kleiner Nachtrag:

Zitat:

Original von Chrisss
Könnte man auch theoretisch teilen durch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n²+5n} \end{eqnarray*}$

und bekäme dann:

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{\sqrt{16n²-24n+61} -\sqrt{36n²+3}}{\sqrt{n²+5n}} \end{eqnarray*}$

da bleibt vorne die 2 und hinten müsste man den Grenzwert noch betrachten?

Das darf man definitiv nicht. Das teilen durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+5n} \end{eqnarray*}$ wäre ja eine Auequivalenzumformung, d. h. man müsste es auf beiden Seiten teilen.

Aber was soll denn bitteschön $\begin{eqnarray*} \frac{\lim\limits_{n \to \infty} }{\sqrt{n^2+5n}} \end{eqnarray*}$ sein?
Also: Man darf erweitern, kürzen usw. aber keine Aequivalenzumformung durchführen.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertbestimmung

Verwandte Themen