Filterbasen/Elementarfilter (Topologie)

18.11.2008, 18:55	PeteYaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Filterbasen/Elementarfilter (Topologie) Ich könnte Hilfe bei folgender Aufgabe gebrauchen, da ich mit den Definitionen leider noch nicht besonders gut umgehen kann: Aufgabe 1: Es sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein topologischer Raum. Zeige: a) Sind $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ Filterbasen zu den Filtern $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , so sind äquivalent: (i) $\begin{eqnarray} F_1 \subseteq F_2 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \forall A \in B_1 \exists B \in B_2 : B \subseteq A \end{eqnarray}$ b) Ist ( $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ) eine Folge in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ der zugehörige Elementarfilter, so gelten: (i) a ist Häufungspunkt von ( $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ) genau dann, wenn a Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist. (ii) a ist Grenzwert von ( $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ) genau dann, wenn a Grenzwert von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist. c) Ist $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein Filter auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und a ein Grenzwert von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , so ist a auch ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ .
19.11.2008, 00:19	PeteYaw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Filterbasen/Elementarfilter (Topologie) also c) hab ich bereits gelöst, aber bei den anderen beiden tue ich mir immernoch schwer mit den ansätzen und argumenten. bin für jede hilfe dankbar... gruß

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