Lebesgue-Integral

29.08.2006, 15:41	Bibop	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-Integral Könnte mir jemand in wenigen Sätzen die Idee der Lebesgue-Integration sagen? Also beim Riemann-Integral ists klar. Man nähert die Funktion durch Treppenfunktionen von oben und unten an und wenn Ober- und Untersumme gleich sind, ist die Funktion Riemann-Integrierbar. Wie siehts nun bei Lebesgue aus? Hab mir den Wiki-Artikel schon durchgelesen, aber ich bräuchte was ähnlich kompaktes wie oben.
29.08.2006, 16:05	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Riemann-Integral ist eigentlich auf stetige Funktionen zugeschnitten, so ist z.B. die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen nicht integrierbar. Idee des Lebesgue-Integrals ist nun, nicht den Definitionsbereich in Intervalle zu unterteilen und die Funktion über diese Teilintervalle zu approximieren (Ober-und Untersumme bzw. Riemannsumme), sondern über den Wertebereich zu unterteilen und den entstehenden Mengen $\begin{eqnarray} \{x \in D(f) \| y_k \leq f(x) < y_{k+1} \} \end{eqnarray}$ ein Maß zuzuordnen. Mit diesem Maß lässt sich dann wieder eine obere Lebesguesumme und eine untere Lebesguesumme erklären (analog zu Riemann). Das erstmal als Idee, wenn noch Fragen sind, bitte stellen! Gruß vom Ben
02.09.2006, 06:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mach das dann mal mit dem Maß. Lerne gerade für Maß- und Integrationstheorie. Deswegen kann ich das. Ich mach das der Anschauung halber mal nur für $\begin{eqnarray} \mathbf{R} \end{eqnarray}$ . Das Prinzip geht genauso im $\begin{eqnarray} \mathbf{R}^n \end{eqnarray}$ . Erstmal ordnet man Intervallen I ihren Inhalt m(I) zu. Wie das geht, ist wohl klar. Z.B. m((a,b]) = b - a. Dann definiert man das äußere Maß, welches für alle Mengen A aus \|R definiert ist: $\begin{eqnarray} \lambda^(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n=1}^\infty m(I_n)\;:\; A\subset\bigcup_{n=1}^\infty I_n\Bigr\} \end{eqnarray}$ . Die Mengen mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \lambda^(Z) = \lambda^(Z\cap A) + \lambda^(Z\setminus A)\;\text{ für alle }\;Z\subset\mathbf{R} \end{eqnarray}$ . werden nun Lebesgue-messbar genannt. Das System $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ der Lebesgue-messbaren Mengen ist eine sogenannte Sigma-Algebra und enthält zum Beispiel alle offenen und abgeschlossenen Mengen. Eigentlich enthält es so ziemlich jede Menge, die man sich vorstellen kann. Das Lebesgue-Maß ist nun einfach die Einschränkung des äußeren Maßes auf $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} \end{eqnarray}$ und wird mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bezeichnet. Nun zum Integral: Zunächst wird das Lebesgue-Integral für elementare Funktionen definiert. Eine solche ist eine Funktion, welche nur auf endlich vielen, paarweise disjunkten messbaren Mengen nicht verschwindet und auf diesen Mengen konstant ist. Sie stellen Verallgemeinerungen von Treppenfunktionen dar. Man kann eine solche Funktion wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=1}^n y_k \mathbf{1}_{A_k}(x) \end{eqnarray}$ Dabei sind die A_k die paarweise disjunkten, messbaren Mengen, und $\begin{eqnarray} \mathbf{1}_{A_k} \end{eqnarray}$ ist die charakteristische Funktion von A_k, welche nur dann 1 ist, wenn x in A_k enthalten ist und sonst Null. Die y_k sind positive Zahlen. Das Integral einer solchen Funktion wird nun definiert als $\begin{eqnarray} \int f(x)\;dx := \sum_{k=1}^n y_k\lambda(A_k) \end{eqnarray}$ . Eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbf{R}\to\mathbf{R} \end{eqnarray}$ heißt messbar, wenn die Menge $\begin{eqnarray} f^{-1}(B) \end{eqnarray}$ für jede messbare Menge B wieder messbar ist. Für die Integration kommen nur solche Funktionen in Frage. Für eine nichtnegative, messbare Funktion f wird nun definiert: $\begin{eqnarray} \int f(x)\;dx := \sup\bigl\{\int g(x)\;dx\;:\; g\text{ ist einfache Funktion},\;0\le g\le f\bigr\} \end{eqnarray}$ . Man beachte, dass dieser Wert auch Unendlich sein kann! Es zeigt sich, dass jede nichtnegative, messbare Funktion f der punktweise Grenzwert einer monoton wachsenden Folge $\begin{eqnarray} (g_n) \end{eqnarray}$ elementarer Funktionen ist und dass $\begin{eqnarray} \int f(x)\;dx = \lim_{n\to\infty} \int g_n(x)\;dx \end{eqnarray}$ gilt. Damit kann man das Integral leichter handhaben. Um schließlich beliebige messbare Funktionen zu behandeln, setzt man für eine messbare Funktion f $\begin{eqnarray} f^+(x) := \max\{f(x),0\}\quad\text{sowie}\quad f^-(x) := \max\{-f(x),0\} \end{eqnarray}$ . Beachte, dass sowohl $\begin{eqnarray} f^+ \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} f^- \end{eqnarray}$ nichtnegative, messbare Funktionen sind. Es gelten die Beziehungen $\begin{eqnarray} f = f^+ - f^- \quad\text{und}\quad \|f\| = f^+ + f^- \end{eqnarray}$ . Eine messbare Funktion f heißt nun Lebesgue-integrierbar, wenn die Integrale von $\begin{eqnarray} f^+ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^- \end{eqnarray}$ existieren (nicht Unendlich sind). Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Integral von \|f\| existiert. Für eine integrierbare Funktion f setzt man $\begin{eqnarray} \int f(x)\;dx := \int f^+(x)\;dx - \int f^-(x)\;dx \end{eqnarray}$ . Es ist noch anzumerken, dass eine messbare Funktion f integrierbar über die messbare Menge A heißt, wenn $\begin{eqnarray} f\cdot\mathbf{1}_A \end{eqnarray}$ integrierbar ist. Man schreibt dann $\begin{eqnarray} \int_A f(x)\;dx := \int f(x)\mathbf{1}_A(x)\;dx \end{eqnarray}$ . Das Lebesgue-Integral besitzt einige sehr gute Konvergenzeigenschaften, von denen das Riemann- oder das Regelintegral nur träumen können. Dabei sind vornehmlich der Satz von der monotonen Konvergenz, der Satz von der majorisierten Konvergenz und der Satz von Fubini zu nennen. Edit: LaTeX Umlaut korrigiert. Ben

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