Endlich-Dimensional

18.11.2008, 20:08

energyfull

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Endlich-Dimensional

hallo und guten abend,

habe da mal ne frage:

ich habe die frage:

sei W ein K-Vektorraum, zeigen sie W ist endlich dimensional:

also W heisst endlich dimensional, wenn es ein endliches erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} y_1,...y_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in W \end{eqnarray*}$ besitzt.

aber wie soll man dass denn beweisen???

18.11.2008, 20:13

therisen

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RE: Endlich-Dimensional

Zitat:

Original von energyfull
ich habe die frage:

sei W ein K-Vektorraum, zeigen sie W ist endlich dimensional:

Nö, das ist falsch. Die interessanten Vektorräume sind meist unendlich-dimensional.

18.11.2008, 20:17

energyfull

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bei mir auf dem aufgabenzettel steht, sei W ein K-Vektorraum, Zeigen sie das die folgenden aussagen äquivalent sind.

W ist endlich-dimensional.

heisst äquivalent das gegenteil

18.11.2008, 20:30

AD

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Zitat:

Original von energyfull
Zeigen sie das die folgenden aussagen äquivalent sind.

W ist endlich-dimensional.

Das ist die erste Aussage, Ok.

Und wie lautet die zweite Aussage, zu der diese erste äquivalent sein soll? Du hast die Hälfte vergessen anzugeben! unglücklich

unglücklich

18.11.2008, 20:57

energyfull

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nochmal von neu: also meine aufgabe:

W ein K-vektorraum, zeigen sie, dass die folgende aussagen äquivalent sind:

1) W ist endlich-dimensional
2) Für jede absteigende Folge von Untervektorräumen in W

$\begin{eqnarray*} V_0\supset V_1 \supset V_2 \supset... \end{eqnarray*}$

gibt es ein j $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 mit $\begin{eqnarray*} V_j=V_{j+1}=V_{j+2}=... \end{eqnarray*}$

p.s. ich wusste nicht wie man die umgekehrte teilmenge mit dem formeleditor macht und die +1 beziehen sich jeweils auf $\begin{eqnarray*} V_j \end{eqnarray*}$

3)
Für jede aufsteigende Folge von Untervektorräumen in W
$\begin{eqnarray*} U_0 C U_1 C U_2 C ... \end{eqnarray*}$ (also Teilmenge)

gibt es ein i $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 mit $\begin{eqnarray*} U_i=U_{i+1}=U_{i+2}=... \end{eqnarray*}$

alsodas ist die aufgabe

18.11.2008, 21:05

Leopold

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Setze in Latex geschweifte Klammern, wenn komplexere Ausdrücke mit dem Unterstrich in den Index gesetzt werden sollen.

Die Obermengenzeichen sind \supset bzw. \supseteq.

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18.11.2008, 21:17

energyfull

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so habe es jetzt verbessert

19.11.2008, 14:41

energyfull

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kann mir hier nochmal jemand helfen

19.11.2008, 14:58

Reksilat

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Ja, die andere Teilmengeninklusion bildet man mit \subset bzw. \subseteq geschockt

geschockt

Zur Aufgabe: Du musst zeigen, dass die drei Aussagen gleichbedeutend sind, also:
- genau dann wenn (1) gilt, gilt auch (2)
- genau dann wenn (2) gilt, gilt auch (3)
- genau dann wenn (1) gilt, gilt auch (3)

Um dies zu zeigen, ist es in diesem Fall ratsam zu beweisen, dass (1) und (2) äquivalent sind und dann dass (1) und (3) äquivalent sind. Damit wärst Du dann fertig.

Also Schritt1:
Zeige $\begin{eqnarray*} (1) \Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$
Schritt2:
Zeige $\begin{eqnarray*} (2) \Rightarrow (1) \end{eqnarray*}$

19.11.2008, 19:25

energyfull

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wie kann ich denn hier anfangen, also ich soll zeigen, dass (i)<->(ii)

also dann fange ich erstmal mit -> an,
wie kann ich denn anfangen, können sie mir einen ansatz zeigen,..

19.11.2008, 21:59

energyfull

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kann mir hier nochmal bitte jemand helfn ich weiss nicht wie ich anfangen soll???

ich weiss das ich erstmal (i)->(ii) zeigen soll

aber weiss nicht so genau wie ich das machen soll

19.11.2008, 22:26

therisen

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Hinrichtung: Überlege dir, dass aus $\begin{eqnarray*} V_i\supseteq V_{i+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dim V_i = \dim V_{i+1} \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} V_i=V_{i+1} \end{eqnarray*}$ folgt (sollte eigentlich aus der Vorlesung bekannt sein).

19.11.2008, 22:52

energyfull

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irgendwie versthe ich das nicht

19.11.2008, 23:08

therisen

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Was verstehst du nicht?

19.11.2008, 23:14

energyfull

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wie ich das irgendwie machen soll???

das was sie da geschrieben haben, wie soll ich das zeigen??

20.11.2008, 00:13

therisen

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Es sei $\begin{eqnarray*} \dim V_i=\dim V_{i+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_i\supseteq V_{i+1} \end{eqnarray*}$ . Wähle eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$ . Diese ist in $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig; aus Dimensionsgründen also auch eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} V_{i+1}=V_i \end{eqnarray*}$ .

20.11.2008, 15:13

energyfull

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hmm,

ich weiss jetzt irgendwie nicht wie ich dazu eine basis angeben soll

20.11.2008, 21:19

therisen

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Brauchst du auch nicht! Es existiert eine Basis (da W endlich-dimensional ist)! Wie sie aussieht, ist völlig egal.

20.11.2008, 22:35

energyfull

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ahaa,

aber irgendwie weiss ich immer noch nicht wie ich das beweisen soll das diese 3 bedingungen äquivalent sind

20.11.2008, 22:37

therisen

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Du sollst die Dimensionen der Unterräume betrachten.

20.11.2008, 23:01

energyfull

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sei W ein K-Vektorraum, dim (W) =n

U ist ein Unterraum von W -> dim(U) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n

Eine Basis von U lässt sich als linear unabhängige Menge zu einer Basis von ergänzen.

Sind U und V unterräume von W, U $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ V und
dim(U)= dim (V), so ist U=V

???

20.11.2008, 23:49

therisen

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Du sollst die Flagge betrachten (die Folge von Unterräumen in der Aufgabenstellung).

21.11.2008, 16:23

energyfull

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hmm

also sind $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$ Unterräume von W, $\begin{eqnarray*} V_i\supseteq V_{i+1} \end{eqnarray*}$ und dim $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ = dim $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$ so folgt das $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$

also davon der beweis wenn B eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ ist so ist B wegen $\begin{eqnarray*} V_i\supseteq V_{i+1} \end{eqnarray*}$ und dim $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ = dim $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$ auch eine basis von $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$

somit folgt $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ =<B> = $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$

also damit haben wir jetzt gezeigt das i->ii äquivalent ist

wie geht es denn jetzt weiter???

21.11.2008, 19:59

energyfull

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wie kann ich denn jetzt den schritt von

ii zu i

beweisen??

21.11.2008, 20:15

therisen

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Zitat:

Original von energyfull
also damit haben wir jetzt gezeigt das i->ii äquivalent ist

Wieso ist das gezeigt?

21.11.2008, 20:27

energyfull

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wegen:

$\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 12:09

therisen

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Und warum gibt es so ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ? Schreib doch mal den kompletten Beweis von i)=>ii) auf.

22.11.2008, 14:04

energyfull

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tut mir leid aber ich schaffe das nicht mehr, ich dachte das ist schon der beweis.

???

22.11.2008, 15:13

therisen

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Die Folge der Dimensionen in der Flagge ist monoton fallend und nach unten durch 0 beschränkt (nach oben durch dim W). Daher ist sie schließlich konstant und mit meinem Argument folgt dann, dass die Folge der Räume stationär wird. So einfach ist das.

22.11.2008, 15:17

energyfull

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aha ok,

kann man das auch mathemetisch ausdrücken

22.11.2008, 15:29

therisen

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Lol. Was ist dir denn daran nicht mathematisch genug? Du könntest ruhig auch mal etwas Eigeninitiative zeigen. Ich habe nämlich das Gefühl, dass du überhaupt nicht weißt, um was es hier geht.

22.11.2008, 15:38

energyfull

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ehmm, ich weiss schon worum es hier geht, nur ich weiss nicht wie ich sowas beweisen soll, das ist ja meine schwierigkeit.
und bei beweisen mit äquivalent, verstehe ich das nicht

i->ii ist doch das selbe wie ii->i nur umgekehrt, wie soll man das denn noch anders beweisen

22.11.2008, 15:44

therisen

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Zitat:

Original von energyfull
i->ii ist doch das selbe wie ii->i nur umgekehrt

Lol. "Hass ist doch das gleiche wie Liebe nur umgekehrt". geschockt

geschockt

Nimm an, dass W unendlich-dimensional ist und konstruiere eine nicht-stationäre Folge von Unterräumen.

22.11.2008, 19:03

energyfull

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ich denke ich lass es mit der aufgabe, ich schaffe es nicht,

ich habe versagt traurig

traurig

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