Ring & Unterring

18.11.2008, 20:32

belllaaa

Ring & Unterring

Hallo kann mir vll jdm. sagen wie ich bei der Aufgabe anfangen kann.

Seien R & S Ringe & Æ : R -> S ein Ringhomomorphismus.
Zeigen Sie,dass die Menge K: = { a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R |Æ (a) = 0s }
(der so genannte Kern von Æ ) ein Unterring von R ist.

verwirrt

18.11.2008, 21:02

Leopold

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Zeige, daß $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit den durch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ induzierten Operationen Addition/Subtraktion und Multiplikation ein Ring ist. Entscheidend ist dabei, daß diese Operationen nicht aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hinausführen (Abgeschlossenheit). Ein Gesetz wie das Assoziativgesetz dagegen überträgt sich problemlos auf die Untermenge.

19.11.2008, 17:50

belllaaa

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Die Aufgabe lautet eig. seien R & S Ringe & $\begin{eqnarray*} phi \end{eqnarray*}$ : R -> S ein Ringhomomorphismus.
Zeigen Sie,dass die Menge K: = { a R| $\begin{eqnarray*} phi \end{eqnarray*}$ (a) = 0s }
(der so genannte Kern von $\begin{eqnarray*} phi \end{eqnarray*}$ ) ein Unterring von R ist.

20.11.2008, 18:03

belllaaa

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weiß leider immer noch nicht wie ich anfangen soll..kann mir bitte jdm. ein tipp geben..

20.11.2008, 18:21

Mathespezialschüler

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Leopold hat dir doch einen Tipp gegeben. Wo ist das Problem?

20.11.2008, 20:31

belllaaa

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was genau soll ich jetzt zeigen R1,R2 und R3 verwirrt

20.11.2008, 21:05

Mathespezialschüler

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Was sind denn R1, R2 und R3? Dir ist schon klar, dass wir nicht wissen können, was du damit meinst oder? Wir sitzen nunmal nicht in deiner Vorlesung ...

Ich formalisiere Leopolds Tipp einmal etwas: Zeige

$\begin{eqnarray*} 0\in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b\in K\Rightarrow a-b,a\cdot b\in K \end{eqnarray*}$ .

Und dann überlegst du noch, warum daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Ring ist. So etwas nennt man übrigens einen Unterring.

22.11.2008, 12:00

Svenja1986

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RE: Ring & Unterring
Was muss man sich denn eigentlich genau hierunter vorstellen:

Menge $\begin{eqnarray*} K := \{ a\in R | \phi (a) = 0s \} \end{eqnarray*}$

??

$\begin{eqnarray*} a\in R \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass man ein Element aus dem Ring R nimmt.

Und wenn man dieses Element dann in den Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ einsetzt, kommt 0s raus? Hä? verwirrt

Für was steht dieses 0s?
Oder wie ist das zu verstehen?

23.11.2008, 02:09

Mathespezialschüler

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Für die Null im Ring $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Diese Menge sind einfach alle Elemente in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf die Null in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

24.11.2008, 20:36

Svenja1986

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich formalisiere Leopolds Tipp einmal etwas: Zeige

$\begin{eqnarray*} 0\in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b\in K\Rightarrow a-b,a\cdot b\in K \end{eqnarray*}$ .

Das heißt man muss zeigen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} \varphi(a) = 0_s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(b) = 0_s \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \varphi(a-b) = 0_s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(a \cdot b) = 0_s \end{eqnarray*}$ ?

Und $\begin{eqnarray*} \varphi(0) = 0_s \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2008, 23:07

Mathespezialschüler

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Ja.

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