Beweis für Kerne

19.11.2008, 08:06

IngMathe-Nob

Beweis für Kerne

Hallo erstmal,

als erstes wusste ich nicht, wie ich das Thema formulieren soll, ich hoffe es passt so. Wenn jemandem was besseres einfällt, darf er es gerne ändern.
Nun zu meinem Problem: Ich soll beweisen, dass der Kern(C), wobei C eine quadratische Matrix ist, eine Teilmenge von Kern(C²) ist und dieser wiederum eine Teilmenge von Kern(C³). Also effektiv gilt zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} Kern(C) c Kern(C^2) c Kern(C^3) \end{eqnarray*}$

Hat jemand nen Tipp, wie ich rangehen soll/kann?

Außerdem soll ich dann noch zeigen, dass für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} cos(3) C = C^3 -exp(1) C^2 + sin(3) C - \pi I \end{eqnarray*}$ mit I = Einheitsmatrix gilt:

C ist invertierbar. Da nen Tipp?
Wäre euch dankbar!

MfG

19.11.2008, 09:13

tigerbine

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RE: Beweis für Kerne
Ist C konkret angegeben.

Das ², ³ steht für hintereinanderführen von Abbildungen. Im Kern liegen alle Elemente des "Startraums", die auf die Null des "Zielraums" abgebildet werden. Liegt also ein v im Kern von C, so gilt:

$\begin{eqnarray*} Cv=0 \end{eqnarray*}$

Eine wichtige Eigenschaft von lin. Abbidungen ist es, dass der Nullvektor des STartraums auf den Nullvektor des Zielraums abgebildet wird. Es gilt also.

$\begin{eqnarray*} C0=0 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich für obige v:

$\begin{eqnarray*} C^2v = C(Cv) = C0=0 \end{eqnarray*}$

Den Rest solltest du alleine schaffen.

19.11.2008, 14:21

WebFritzi

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RE: Beweis für Kerne
Der erste Teil ist trivial. Man muss lediglich in die Definition des Kerns einsetzen.

Zitat:

Original von IngMathe-Nob
Außerdem soll ich dann noch zeigen, dass für die Gleichung

$\begin{eqnarray*} cos(3) C = C^3 -exp(1) C^2 + sin(3) C - \pi I \end{eqnarray*}$ mit I = Einheitsmatrix gilt:

C ist invertierbar. Da nen Tipp?

Zeige mit Hilfe der Gleichung, dass C injektiv ist bzw. dass der Kern {0} ist. Dann folgt die Behauptung.

19.11.2008, 14:50

kiste

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RE: Beweis für Kerne

Zitat:

Original von WebFritzi
Zeige mit Hilfe der Gleichung, dass C injektiv ist bzw. dass der Kern {0} ist. Dann folgt die Behauptung.

Oder noch einfacher nach I auflösen und C ausklammern

20.11.2008, 01:13

WebFritzi

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Ja, dann hat es aber nichts mehr mit der vorigen Aufgabe zu tun. ;o)

20.11.2008, 12:51

IngMathe-Nob

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Also schonmal danke für die Antworten.

Also reicht es wenn ich bei der Aufgabe mit den Teilmengen schreiben:

Kern (C) = { x | Cx=0}. bei lin.Abb. gilt: x=0 € Kern(C)
==> Kern(C²) = {x | CCx=0} => Cx=0 ist eine Lösung dieser Gleichung, ==> Kern(C) € Kern(C²)

und dann halt noch das selbe für C² und C³?

So nochmal zu der anderen Aufgabe. Diese beiden Aufgaben waren die a) und b) einer Aufgabe.
Also wenn ich jetzt nach I auflöse und C ausklammere, erhalte ich folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{C}{\pi}(C^2 -exp(1)C+(sin(3)-cos(3))) \end{eqnarray*}$

Und was soll ich nun machen? Soll ich jetzt zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} C^{-1}= \frac{1}{\pi}(C^2 -exp(1)C+(sin(3)-cos(3))) \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich das machen?

20.11.2008, 15:44

IngMathe-Nob

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Oder soll ich ansetzen mit:

Invertierbar, wenn Kern(C) = {0}, ==> Kern(C³) = {0}, d.h. C³x=0,

d.h. $\begin{eqnarray*} [cos(3)-sin(3)] C + exp(1) C^2 +\pi I = C^3 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} ([cos(3)-sin(3)] C + exp(1) C^2 +\pi I)x = 0 \end{eqnarray*}$

aber weiter fällt mir nix ein. Oder sind meine Ansätze prinzipiell falsch, bzw. sollte ich anders vorgehen?

21.11.2008, 21:28

IngMathe-Nob

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Kann mir niemand weiterhelfen?

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