Stetigkeit

29.08.2006, 15:48

irre.flexiv

Stetigkeit

Ich probiere mich gerade an ein paar Beweisen aber irgendwie gelingt mir kein einziger traurig

Wie kann ich z.B. beweisen das $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ auf (0,1) stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Oder das $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ auf IR nicht gleichmäßig stetig ist.

29.08.2006, 17:13

Mathespezialschüler

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Das hatten wir schon desöfteren im Board! Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathrm D_f \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet ja:

$\begin{eqnarray*} \exists\ \varepsilon>0\ \forall\ \delta>0\ \exists\ x,y\in \mathrm D_f\ :\ |x-y|<\delta \wedge\ |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Nimm dir bei der ersten Funktion doch einfach $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} n>\frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ und probiere dann $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n},y=\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .
Hast du vielleicht für die zweite dann selbst ne Idee?

Gruß MSS

29.08.2006, 19:39

irre.flexiv

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Ah ok,

aber muss das nicht $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{2\delta} \end{eqnarray*}$ lauten?

Für die zweite hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x = \frac{n^2+1}{2n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y = \frac{n^2-1}{2n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\delta} \end{eqnarray*}$ .

(Was Einfacheres hab ich nicht gefunden.)

Zur Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} fx=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} |fx - fx_0| = |\frac 1 x - \frac 1 x_0| = |x-x_0|\cdot\frac 1 {xx_0} \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} x_0 < x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-x_0|\cdot\frac 1 {xx_0} < |x-x_0|\cdot\frac 1 {x_0^2} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \varepsilon\cdot x_0^2 =: \delta \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} x_0 > x \end{eqnarray*}$

Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 < n\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-x_0|\cdot\frac 1 {xx_0} < |x-x_0|\cdot\frac n {x_0^2} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \frac{\varepsilon\cdot x_0^2}{n} =:\delta \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

29.08.2006, 23:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von irre.flexiv
aber muss das nicht $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{2\delta} \end{eqnarray*}$ lauten?

Ja, du hast natürlich recht, sorry!
Die Wahl für 2. ist auch ok und der Rest ebenfalls, wenn ich mich nicht verguckt habe.

Gruß MSS

30.08.2006, 01:46

irre.flexiv

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Jut, danke dir.

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