Ellipsoid

19.11.2008, 15:00	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipsoid Hallo, ich hab da ne Frage zur Ellipsoidengleichung. Die lautet ja folgendermassen: $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}=1 \end{eqnarray}$ Was ich nicht ganz verstehe, ist, was diese 1 bedeutet? Bei einer Kugel wäre dies ja der Radius, aber eine Ellipse kann ja nicht wirklich einen Radius haben, wobei die Halbachsen sowieso bereits durch a,b und c beschrieben sind... lg pingu
19.11.2008, 17:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die 1 ist nicht der Radius. Wenn du $\begin{eqnarray} a=b=c=r \end{eqnarray}$ spezialisierst, erkennst du die Kugel als Sonderfall eines Ellipsoids (multipliziere die Gleichung mit $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ durch). Wenn du umgekehrt die Kugel zum Ellipsoid verallgemeinerst, werden aus dem in allen Richtungen gleichen Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ die Halbachsen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ in Richtung der drei Koordinatenachsen. Höchstens könntest du das Folgende sagen: Wenn man die Substitution $\begin{eqnarray} u = \frac{x}{a} \, , \ \ v = \frac{y}{b} \, , \ \ w = \frac{z}{c} \end{eqnarray}$ durchführt, besteht die Äquivalenz $\begin{eqnarray} \left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 + \left( \frac{z}{c} \right)^2 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ u^2 + v^2 + w^2 = 1 \end{eqnarray}$ Die Einheitskugel wird also durch die Abbildung $\begin{eqnarray} (u,v,w) \mapsto (x,y,z) = (au,bv,cw) \end{eqnarray}$ zu einem Ellipsoid deformiert. Und umgekehrt wird das Ellipsoid durch die Abbildung $\begin{eqnarray} (x,y,z) \mapsto (u,v,w) = \left( \frac{x}{a} , \frac{y}{b} , \frac{z}{c} \right) \end{eqnarray}$ zur Kugel ausgeglichen.
19.11.2008, 17:38	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich, so hab ich mir das noch gar nicht überlegt - Danke Kann ich also somit sagen, dass die 1 da nicht wirklich für etwas steht? Was ich damit meine ist, natürlich muss sie dasein, weil es ja beispielsweise im Falle einer Kugel sonst überhaupt nicht funktionieren würde, aber die Vorstellung die 1 etwas direkt Fassbarem zuordnen zu können wie dem Radius beispielsweise, das entfällt bei einem Ellipsoid?
19.11.2008, 18:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals der Hinweis: Eine Kugel vom Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mit Mittelpunkt Null ist gegeben durch die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}+\frac{z^2}{r^2}=1 \end{eqnarray}$ . Da hat die Eins genausowenig irgendetwas zu bedeuten wie bei einem Ellipsoid. Was sollte sie denn darstellen? Mit dem Radius hat sie jedenfalls nichts zu tun.
19.11.2008, 18:47	pingu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, aber es muss eine 1 dastehen, weil sonst bei der Multiplikation, also wenn man den Nenner wegbringen will, auf der rechten Seite dann nicht das $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ dastehen würde. Aber ja, ich denk ich habs begriffen, thx.
19.11.2008, 18:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das auch beim Ellipsoid machen: $\begin{eqnarray} \left(b^2c^2\right)x^2+\left(a^2c^2\right)y^2+\left(a^2b^2\right) z^2=a^2 b^2c^2 \end{eqnarray}$ . Das bringt nur nicht sonderlich viel, da man aus einer Darstellung $\begin{eqnarray} p^2x^2+r^2y^2+q^2z^2=s^2 \end{eqnarray}$ erstmal rechnen muss, um die Halbachsen zu bekommen, und sie nicht einfach ablesen kann.
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