Grenzwert einer Summe

19.11.2008, 15:08

MarcusL

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Grenzwert einer Summe

Hey Leute,
hab ein unheimliches Problem bei meinen Analysis-Aufgaben.

Ich habfolgende Summe gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{n²+k}} \end{eqnarray*}$

Von dieser soll der Grenzwert berechnet werden. Ich weiß, dass das n-te Glied gegen 0 Strebt, die Summe also ab einem bestimmten Punkt nicht mehr wächst.

Wie bekomme ich diesen Wert heraus, für den Gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{n²+k}} \leq X \end{eqnarray*}$

Danke schonmal für eure Hilfe!!!

MfG

20.11.2008, 13:01

MarcusL

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*push*

Mir ist übrigens aufgefallen, dass ich den Beitrag ins falsche Forum geschrieben hab. Ist ja Hochschulmathe...könnte das jemand verschieben?!

Und mir eventuell jmd antworten geschockt

geschockt

MfG

Marcus

20.11.2008, 13:06

tmo

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RE: Grenzwert einer Summe

Zitat:

Original von MarcusL
Ich weiß, dass das n-te Glied gegen 0 Strebt, die Summe also ab einem bestimmten Punkt nicht mehr wächst.

Das ist ein Trugschluss. Siehe harmonische Reihe. Die ist divergent.

Zitat:

Original von MarcusL
Wie bekomme ich diesen Wert heraus, für den Gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{n²+k}} \leq X \end{eqnarray*}$

Sollst du das kleinste solche X bestimmen, also den Grenzwert? Oder nur irgendeine Schranke um die Konvergenz zu beweisen? Letzteres wäre deutlich einfacher.

20.11.2008, 13:31

MarcusL

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http://bildupload.sro.at/a/images/Aufgabe.JPG

Also dort ist ja vorausgesetzt, dass ein Grenzwert existiert...versteh das mit der harmonischen Reihe nicht ganz?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$

konvergiert doch gegen 0?

*confused*

/edit: Ich meine nicht, dass die Summe gegen 0 konvergiert...aber das "unendlichste" glied geht gegen 0...

20.11.2008, 13:44

Soz.Päd.

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Guten Tag,

Heißt es nun "1/ Wurzel (n^2 - k)" oder doch "(1/Wurzel(n^2+k)"?.

Versuche doch mal, die Summe zu berechnen, indem du sie durch die beiden voerherigen Folgen x(n) und y(n) eingrenzt.

Gruß
Soz.Päd.

20.11.2008, 13:45

tmo

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Zeige $\begin{eqnarray*} x_n \leq z_n \leq y_n \end{eqnarray*}$

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20.11.2008, 14:01

MarcusL

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hmmm...

naja das sind ja aber Zahlenfolgen, keine Summen.
Die Zahlenfolge xn konvergiert gegen 1, die Zahlenfolge yn gegen 0...

Hmm. Komisch. Keine Ahnung -.-

20.11.2008, 14:03

tmo

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Zitat:

Original von MarcusL
die Zahlenfolge yn gegen 0...

Wer sagt das? geschockt

geschockt

20.11.2008, 14:07

MarcusL

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Halt!!! Tipp und Abelesefehler...
geht auch gegen 1! Sry!

20.11.2008, 14:08

tmo

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Genau. Und gegen was würde dann $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ konvergieren, wenn du das hier gezeigt hast?

Zitat:

Original von tmo
Zeige $\begin{eqnarray*} x_n \leq z_n \leq y_n \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 14:11

MarcusL

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auch gegen 1?! :-O

Das würde heißen, die Summe der Zahlenfolge zn geht gegen unendlich. Aber wie kommst du auf den Ansatz:

/edit ...Also warum sollte das so sein? Hab doch geschaut Oo und das "n-te glied der Summe geht doch dort gegen 0"?!

Weil ich hab überm Bruchstrich ja ne 1 und kein n stehen, was kontinuierlich wachsen könnte...

20.11.2008, 14:15

tmo

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Moment! $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ selbst ist schon die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \end{eqnarray*}$ . Um den Grenzwert dieser Summe geht es.

Dass $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ dann auch gegen 1 konvergiert, ist richtig.

Zitat:

Original von MarcusL
Aber wie kommst du auf den Ansatz:

Mit ein bisschen Auge machts sofort Klick, wenn man die drei Folgen sieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2008, 14:51

MarcusL

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Also ich hab mir erstmal folgendes überlegt. Ich hoffe, dass das von der Theorie her richtig ist, auch wenn ich irgendwie nicht weiterkomme...

Ist dieser Ansatz hier richtig oder grundlegend falsch? Und bringt er mir was smile

smile

?!

$\begin{eqnarray*} z_{\infty }= \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{\sqrt{\infty + k}} = \frac{1}{\sqrt{\infty + 1}}+\frac{1}{\sqrt{\infty + 2}}+\frac{1}{\sqrt{\infty + 3}}+...+\frac{1}{\sqrt{\infty + \infty}} \end{eqnarray*}$

also bilde ich die Summe überhaupt richtig?

20.11.2008, 14:53

tmo

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Das ist Quatsch. Du kannst doch nicht mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rechnen.

Es geht doch darum die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x_n \leq z_n \leq z_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Erstmal noch gar nichts mit unendlich oder so.

20.11.2008, 14:55

MarcusL

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Aber ich hab keine Ahnung, wie ich das machen soll. Ich komm nich dahinter! das eine is ne Summer, wie soll ich das in ne Ungleichung mit 2 Zahlenfolgen "bringen"...

Also ich mein die Summe ist ja auch einen Zahlenfolge...*grml* Glaub, das is mein Problem!

/edit: Kann ich das vielleicht mittels vollständiger Induktion beweisen?

20.11.2008, 15:15

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Summe
Schätze doch einfach die Summanden mal ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{ \sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{ \sqrt{n^2+1}} \end{eqnarray*}$

Durch die Vorgabe der Folgen x_n und y_n lag das doch auf der Hand. smile

smile

20.11.2008, 15:30

MarcusL

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RE: Grenzwert einer Summe
ich weiß, dass ich mich sicher sehr doof anstelle, aber:

zum Beispiele die Folge x_n ist ja nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}} \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 15:40

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer Summe
Ich hätte jetzt nicht gedacht, daß man wirklich jeden einzelnen Schritt vorkauen muß. unglücklich

unglücklich

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{n^2+k}} \leq \sum_{k=1}^n~\frac{1}{ \sqrt{n^2+1}} \end{eqnarray*}$

Wieviel Summanden hat die rechte Summe? Man könnte meinen, das sind n Stück. Also ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 15:54

MarcusL

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OMG!!! *peinlich*

Ich habs verstanden... -.- SORRY,
stand echt total auf dem Schlauch!!!

Vielen lieben Dank!!!

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