komplexe Zahlen (z^6=-64)

19.11.2008, 20:20

pingu

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komplexe Zahlen (z^6=-64)

Hallo Leute,

Blöde Frage, eigtl dachte ich, ich kann das, aber bei einer Aufgabe bin ich stutzig geworden. Wenn ich folgendes habe: $\begin{eqnarray*} z^6=-64 \end{eqnarray*}$ und die Nullstellen finden möchte, hab ich es bisher immer so gemacht, dass ich die n-te Wurzel aus der Zahl gezogen habe, hier also die 6. In diesem Falle krieg ich $\begin{eqnarray*} \pm2i \end{eqnarray*}$ raus. Danach hab ichs jeweils so gemacht, dass ich auf dem Einheitskreis geguckt hab, ob es jetzt einem i,-i,1,oder -1 entsrpicht. Wenn ich jetzt aber einen Fall habe, wo beides zutreffen kann, wie muss ich mich dann entscheiden. Sind das jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ? Oder spielt das gar keine Rolle?

19.11.2008, 20:29

tigerbine

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RE: komplexe Zahlen (z^6=-64)
Denke an Polarkoordinaten...

19.11.2008, 20:43

pingu

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Hmm... sry, hab ein Brett vor dem Kopf, könntest du den Tipp noch näher beschreiben?

19.11.2008, 20:44

tigerbine

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Big Laugh

Könnte ich schon...

Wie mutlipliziert man denn komplexe zahlen in dieser Darstellung?

19.11.2008, 20:52

pingu

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Also meinst du so:

sagen wir beide haben den Radius 1. $\begin{eqnarray*} (cos(\phi)+isin(\phi))(cos(\theta)+isin(\theta)) \end{eqnarray*}$

Aber ich hab das Gefühl, dass ich da auf dem Holzweg bin... Auch ausmultipliziert kürzt sich ja da nichts weg...

19.11.2008, 20:56

tigerbine

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Nein. Ich meine ..."Winkel werden addiert, Radien multipliziert.

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19.11.2008, 21:03

pingu

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Achso, du sprichst von dieser Form $\begin{eqnarray*} re^{i\phi} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, also bisher hab ichs ja immer so gemacht $\begin{eqnarray*} e^{i(\frac{\gamma}{n} + 2\pi k}) \end{eqnarray*}$ . Aber jetzt weiss ich nicht ob das nun ein + oder - pi sein soll...

19.11.2008, 21:08

tigerbine

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Ja von der Spreche ich. Und hier muss nun gelten

$\begin{eqnarray*} r^6\cdot e^{6\phi} = 64 \end{eqnarray*}$

Teilprobleme sind also

$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64} = ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 \phi = 0 ~(2\pi) \end{eqnarray*}$

Das ist hier doch relativ leicht... 6te "Einheitswurzeln" könnten helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2008, 21:22

pingu

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Ja, da köme $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ in Frage. Falls es 2 wäre, hätte ich einen Radius von 2 und im ganzen würde das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{1\pi}{3} + 2\pi k}) \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt noch eine Fallunterscheidung machen, weil es auch -2 sein könnte? Also so:
$\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{\pi}{6} + 2\pi k}) \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2008, 21:24

tigerbine

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radien sind positiv...

19.11.2008, 21:39

pingu

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Ja, dann kommt nur das +2 in Frage. hmm verwirrt

verwirrt

iwie will das noch nicht so ganz in meinen Kopf. Würde dann bei -64 auch nur das 2i in Frage kommen? Dann würde ja das -1 und das -i gar nie vorkommen....

Also ich häng mal ne Grafik an, wie ichs meine

19.11.2008, 21:47

tigerbine

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Nein, bei -64 wäre es auch r=2. nur die winkel wären anders.

19.11.2008, 21:54

pingu

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Ok, also um etwas klarzustellen, es gibt in solch einem Fall 2 Lösungen?

Also einmal so $\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{\pi}{3} + 2\pi k}) \end{eqnarray*}$ und einmal so $\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{\pi}{6} + 2\pi k}) \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2008, 22:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} 6 \phi = 0 ~(2\pi) \end{eqnarray*}$

Muß das nicht pi sein? Bzw. pi + 2*pi*k mit k = 0, 1, ..., 5 ?

19.11.2008, 22:15

tigerbine

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1. Es gibt 6 Lösungen

$\begin{eqnarray*} 2 exp(i\cdot k \cdot \frac{2\pi}{6}),~k=0,1,2,3,4,5 \end{eqnarray*}$

2. Wieso pi? Wir haben doch +64 und nicht -64.... verwirrt

verwirrt

Wink

19.11.2008, 22:30

pingu

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Genau, 6 Lsgen, das würd ich auch sagen. Aber verstehst du mein Problem? Wo mein Konflikt liegt? Wahrscheinlich ist er ganz trivial.... Natürlich gibt es keinen negativen Radius, aber das - kann ja auch, ich spreche jetzt von -64, beim i oben, also in der Potenz sein.

Wie würde die Lösung bei dir denn bei -64 ausschauen?

19.11.2008, 22:34

mYthos

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@bine

klarsoweit hat Recht, es hieß ja -64!

@pingu

Der Radius ist IMMER positiv, egal ob da jetzt -64 oder +64 gestanden war. Also klipp und klar 2! Die Vorzeichen werden aussschließlich von den Winkelfunktionen der entsprechenden (durch 6 geteilten) Winkel bestimmt. Und klar ist auch, dass (bei -64) vom Winkel $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ auszugehen ist und von dort aus immer $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ weiter ...

mY+

19.11.2008, 22:45

tigerbine

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Entschuldigung, ich habe das Minus übersehen. Ups

Ups

Dann mach ich das eben mal noch...

r=2

Einfachste Variante für den winkel ist dann, den zu -64 gehörigen Winkel (pi) durch 6 zu teilen. Also

$\begin{eqnarray*} 2\cdot exp(i \cdot \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$

Damit das andere Rechnen nicht umsonst war, führen wir das weitere vorgehen darauf zurück.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot exp(i \cdot (\frac{\pi}{6} + k \cdot \frac{2\pi}{6})) \end{eqnarray*}$

Nimmt man die Winkel mal 6, so steht da

$\begin{eqnarray*} \pi + k \cdot 2\pi == pi \end{eqnarray*}$

Das ist enau das, was klarsoweit ja schon erwähnt.

19.11.2008, 22:46

pingu

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Ja, der Radius schon.

Ok, ich liste mal 4 Fälle auf.

$\begin{eqnarray*} 1.) z^6= -64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2.) z^6= 64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3.) z^3 = i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4.) z^3 = -i \end{eqnarray*}$

zu 1.
$\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}}) \end{eqnarray*}$

zu 2.
$\begin{eqnarray*} 2e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{3}}) \end{eqnarray*}$

zu 3.
$\begin{eqnarray*} e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2 \pi k}{3}}) \end{eqnarray*}$

zu 4.
$\begin{eqnarray*} e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{2 \pi k}{3}}) \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

19.11.2008, 22:56

mYthos

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4) stimmt nicht, da ist der Anfangswinkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Bei den k solltest du dazuschreiben, von wo bis wohin diese gehen.

mY+

19.11.2008, 23:02

pingu

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Bist du sicher? Es ist ja -i, d.h. er befindet sich doch auf dem Einheitskreis bei $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ , nicht?

Ach ja, natürlich, die k's gehen in den ersten 2 Fällen von 0 bis 5 und bei Fall 3 und 4 von 0 bis 2.

19.11.2008, 23:22

mYthos

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Zitat:

Original von pingu
Bist du sicher? Es ist ja -i, d.h. er befindet sich doch auf dem Einheitskreis bei $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ , nicht?
...

Ja. Und ich bin sicher. Was passiert, wenn du nun die $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ durch 3 teilst? Woher kommen bei dir die $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ ?

mY+
______________

EDIT: Nicht nett, dass du jetzt ohne Antwort gehst. OK, dann verabschiede ich mich jetzt auch, gute Nacht!

20.11.2008, 16:38

pingu

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Ah ok, ja logo, habs jetzt geschnallt. Danke vielmals an alle, die geholfen haben smile

smile

Ich habe eben keinen von euch mehr on gesehen, nachdem ich den Beitrag verfasst hatte, und bin deshalb davon ausgegangen, dass ihr bereits gegangen seid, sry...

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