Lineare Abhängigkeit in Vektorräumen

19.11.2008, 23:06	andreas911	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit in Vektorräumen Hallo zusammen! Wir haben wieder mal neue Aufgaben bekommen zum Thema Vektorräume und diese hier ist mir nicht ganz klar: Es seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray} n \in N, u_{1}, ..., u_{n} \end{eqnarray}$ linear unabhängig und $\begin{eqnarray} u := \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}u_{j} \ne 0 \end{eqnarray}$ in V mit $\begin{eqnarray} \alpha_1, ..., \alpha_n \in K \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: i) Die Vektoren $\begin{eqnarray} (u_1 - u), ... , (u_n - u) \end{eqnarray}$ sind genau dann linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n} \alpha_j = 1 \end{eqnarray}$ in obiger Darstellung von u ist. ii) ist $\begin{eqnarray} \alpha \ne 0 \end{eqnarray}$ , so sind $\begin{eqnarray} u, u_2, ..., u_n \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Hat einer eine Idee, wie ich hier rangehen kann? Danke schonmal!!
20.11.2008, 11:39	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit in Vektorräumen Zu (i): Zuerst nimmst Du an, dass die Vektoren lin. abh. sind: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_i(u_i-u)=0 \end{eqnarray}$ und stellst das alles nach u um. Damit hast Du eine Darstellung von u als Linearkombination der $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ und musst nur noch zeigen, dass die Summe der Koeffizienten 1 wird. Die andere Richtung ist ebenfalls schnell gemacht, Du musst nur verwenden, dass $\begin{eqnarray} u=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{n}\cdot u\right) \end{eqnarray}$ ist. Zu (ii): Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \alpha_1\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann ist das gerade der Austauschsatz von Steinitz

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