Ungleichungen lösen

20.11.2008, 00:33

party-pooper

Ungleichungen lösen

Guten Abend,
ich hab da mal was mitgebracht:

|a^x - b^x| =< |a-b|^x

a,b aus R+, x aus [0,1]

Diese Ungleichung bringt mich um den Schlaf. Es wurde suggeriert(von Mitstudenten, die angeblich nen hint vom Tutor bekamen) diese Aufgabe mit folgendem zu lösen:

(1+a)^x =< 1+a^x

aber ich finde keine Verbindung. Ich hab derweilen versucht es mit Fallunterscheidung zu betrachten, aber über x = 0 und a = b komme ich nicht hinaus.

Jemanden einen heißen Tipp?

20.11.2008, 01:21

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

o.B.d.A sei $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist also:

$\begin{eqnarray*} a^x-b^x \leq (a-b)^x \end{eqnarray*}$ . Nun setzen wir $\begin{eqnarray*} a-b = c \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (b+c)^x \leq b^x+c^x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sollte die Verbindung zu $\begin{eqnarray*} (1+a)^x \leq 1+a^x \end{eqnarray*}$ auffallen.

20.11.2008, 16:05

party-pooper

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
o.B.d.A sei $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist also:

$\begin{eqnarray*} a^x-b^x \leq (a-b)^x \end{eqnarray*}$ . Nun setzen wir $\begin{eqnarray*} a-b = c \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (b+c)^x \leq b^x+c^x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sollte die Verbindung zu $\begin{eqnarray*} (1+a)^x \leq 1+a^x \end{eqnarray*}$ auffallen.

Danke für deine Antwort.

Ich hab die Substitution mal in die andere Gleichung eingefügt und geguckt was ich daraus basteln kann.

$\begin{eqnarray*} (1+a)^x \leq 1+a^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+a)^x -1 \leq (b+c)^x \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} (1+a)^x -1 \leq (b+c)^x \leq b^x+c^x \end{eqnarray*}$ .

aber ich weiß noch nicht so wirklich ob mir das weiterhelfen kann.

20.11.2008, 16:55

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du falsch verstanden. In der Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+a)^x\leq 1+a^x \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine allgemeine Variable und nicht das konkrete $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus der Aufgabe.

Was du noch zeigen musst, ist: $\begin{eqnarray*} (b+c)^x\leq b^x+c^x \end{eqnarray*}$ . Teil doch die Ungleichung mal durch $\begin{eqnarray*} b^x \end{eqnarray*}$ .

20.11.2008, 17:43

party-pooper

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah wundervoll, jetzt seh ichs. Vielen dank für eure Hilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichungen lösen

Verwandte Themen