limes des arctan

20.11.2008, 13:46	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
limes des arctan Ich möchte wissen wie man $\begin{eqnarray} \lim_{x \to + \infty} \arctan (x) \end{eqnarray}$ berechnet. Ich weiß nur, dass die Funktion von IR in das Intervall -pi/2 bis pi/2 abbildet.
20.11.2008, 13:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x = \infty \end{eqnarray}$ . Oder die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Letzteres ist wohl etwas einfacher.
20.11.2008, 13:55	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich ist es mir klar, tangens bildet pi/2 nach unendlich ab also bildet der arctan unendlich nach pi/2 ab. Aber wie man das gescheit aufschreibt weiß ich nicht.
20.11.2008, 13:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal editiert. Es würde auch direkt über die Definition als Umkehrfunktion des Tangens gehen in Verbindung mit den Definition von Grenzwert und Divergenz nach Unendlich. Aber mit der Funktionalgleichung ist es deutlich einfacher.
20.11.2008, 14:05	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
so??? $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} = \lim_{x \to +\infty}( \arctan x + \arctan \frac{1}{x}) = \lim_{x \to +\infty} \arctan x + \lim_{x \to +\infty}\arctan \frac{1}{x}= \lim_{x \to +\infty} \arctan x + \arctan 0 = \lim_{x \to +\infty} \arctan x +0 \end{eqnarray}$ nächste Frage wie zeigt man die Funktionalgleichung?
20.11.2008, 14:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich richtig, aber du gehst damit davon aus, dass der Grenzwert existiert. Besser ist es, nach $\begin{eqnarray} \arctan x \end{eqnarray}$ freizustellen und dann die Grenzwertsätze anzuwenden. Die Funktionalgleichung zeigt man z.B. durch Ableiten der Funktion $\begin{eqnarray} h(x) = \arctan(x) + \arctan \frac{1}{x} \end{eqnarray}$
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20.11.2008, 14:17	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habs nun umgestellt und ich denke es stimmt, nun zu h(x) $\begin{eqnarray} h'(x)=\frac{1}{1+x^2} +\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \ln(x) \end{eqnarray*}$ Der Ausdruck müsste ja irgendwie Null werden, irgendwie hab ich aber nicht das Gefühl, das dass passiert. Warscheinlich stimmt irgendwas mit der Ableitung nicht?
20.11.2008, 14:18	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ . Nicht andersrum
20.11.2008, 14:22	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
ok jetzt passt alles, thx
20.11.2008, 14:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufpassen: Wenn du $\begin{eqnarray} h'(x) = 0 \end{eqnarray}$ gezeigt hast, hast du zunächst nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ konstant ist. Aber nicht, dass es auch diesen bestimmten Wert annimmt.
20.11.2008, 14:31	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab noch x=1 eingesetzt
20.11.2008, 14:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »

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