Grad der Ableitung wenn f ganzrational vom Grad n...

20.11.2008, 15:28

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Grad der Ableitung wenn f ganzrational vom Grad n...

Hey hab eine Aufgabe im Buch, die sicherlich ziemlich easy ist, ich aber die Fragestellung nicht wirklich verstehe...
Könnte mir jemand erklären was ich machen muss?

"Geben Sie den Grad der Ableitung an, wenn f ganzrational vom Grad n ist".

a) $\begin{eqnarray*} f'' , n= 3 \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 15:30

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet es denn, wenn eine ganzrationale Funktion n-ten (Also z. B. 4. Grades) Grades ist?

20.11.2008, 15:32

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Der höchste Exponent ist 4

z.B $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 - 5x³- 12x² \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 15:36

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Wie lautet nun eine Funktion n-ten Grades? Und wie verändert sich der Grad der Funktion, wenn man sie ableitet?

20.11.2008, 15:39

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Funktion n-ten Grades wär z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$

Wenn man sie Ableitet : f '(x) = nx^(n-1)

20.11.2008, 15:40

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also wie verändert sich der Grad der Funktion? Vor und nach dem ableiten.

Anzeige

20.11.2008, 15:42

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

er wird um 1 verringert.
was muss ich jetzt bei meiner aufgabe tun?
Welche Ableitung wollen die eig. haben?

20.11.2008, 16:02

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war die Theorie. Nun zur Aufgabe:

Zitat:

Original von gartenzwerg
Welche Ableitung wollen die eig. haben?

Zitat:

Original von gartenzwerg
a) $\begin{eqnarray*} f'' , n= 3 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Du sollst also nun den Grad der 2. Ableitung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades angeben.

20.11.2008, 16:06

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

achso...
f "(x) = x³
f '(x)= x^4
f (x) = x^5
???

//edit

20.11.2008, 16:08

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch selbst die Regel für das Ableiten gepostet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Warum sollte denn jetzt auf einmal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ sein?

\Edit zu deinem Edit:

Auch das ist falsch, benutzt einfach nur die Regel.

20.11.2008, 16:10

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

also is mir jetzt nich um den koeffizient sondern vorrangig ma um den exponenten gegangen

20.11.2008, 16:11

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber man darf deshalb trotzdem den Koeffizienten davor schreiben, denn mathematisch wäre das natürlich falsch ohne ihn.

Du sollst jetzt aber wie gesagt eine Funktion 3. Grades als Ausgangsfunktion nehmen, nicht 5. Grades (Auch wenn das auf das gleiche hinführt).

20.11.2008, 16:15

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

also
$\begin{eqnarray*} f(x) = x³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6x \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

20.11.2008, 16:18

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber das ist ja nicht die Antwort auf die Frage.

Aber wenn du dir die Frage nochmal durchliest, dann bin ich mir sicher, dass du jetzt die Antwort geben kannst. smile

smile

20.11.2008, 16:23

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Grad 1

smile

20.11.2008, 16:24

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und mehr braucht man gar nicht zu schreiben smile

smile

20.11.2008, 17:00

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

ach dankeschön Wink

Wink

20.11.2008, 19:19

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

was mach ich bei $\begin{eqnarray*} f^k \end{eqnarray*}$ ; n= k+2

hab ma überlegt wenn man die die (Zahlen-) Ableitung (also gemeint 1.,2.,3....Ableitung) hat rechne ich n - Anzahl der Ableitung = Grad

bei $\begin{eqnarray*} f^k ; n= k \end{eqnarray*}$ klappt das noch (Grad 0)

20.11.2008, 19:24

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre schön, wenn du mal leserlich schreiben könntest, und vor allem deine Sätze auf grammatikalische Richtigkeit überprüfen würdest, nachdem du sie geschrieben hast.

Ich kann nur die hälfte entziffern, weiss also nicht wirklich was du jetzt nicht verstehst.

Die Aufgabe mal übersetzt:

Du sollst den Grad der k-ten Ableitung bestimmen, wenn die Ausgangfunktion eine Funktion (k+2)-ten Grades ist.

20.11.2008, 19:44

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!

20.11.2008, 19:50

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass das richtig ist, ist mir schon klar. Ich dachte, du verstehst es nicht, deswegen hab ich mal "übersetzt".

Also konstruieren wir doch mal ein Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} k = 46 \end{eqnarray*}$

Dann ist die Funktion (46 + 2)ten Grades:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{48} \end{eqnarray*}$

Nach k-maligem differenzieren, also 46 maligem differenzieren:

$\begin{eqnarray*} f^{46} = ... \end{eqnarray*}$

Und direkt mit Parameter:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{k+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (k+2) \cdot x^{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (k+1)(k+2) \cdot x^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^k(x) = \dots \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 20:00

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f^k (x) ; n = k \end{eqnarray*}$

=> n-k = Grad => k-k = 0 -> Grad 0

/edit
Sorry waren gleichzeitig.

20.11.2008, 20:02

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist falsch.

\Edit:
Seit wann ist n = k?

20.11.2008, 20:06

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

So steht's bei meiner Aufgabe im Buch.

20.11.2008, 20:08

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass ich auch das Buch vor mir liegen habe...

Zitat:

Original von gartenzwerg
was mach ich bei [...] n= k+2

Du teilst mir mit, dass n = k+2 ist, und nicht n=k

Was denn nun?

20.11.2008, 20:15

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin in der Zeile verrutscht.

Bei n = k+2

Hab ich den Grad 2 raus.

20.11.2008, 20:16

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nun richtig.

20.11.2008, 20:25

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn n = k-2

Kommt da -2 oder 0 raus?

20.11.2008, 20:40

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

0

Sei $\begin{eqnarray*} k = 4 \end{eqnarray*}$ . Dann hat man eine Funktion (k-2)ten Grades, welche 4 mal differenziert werden soll.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^4(x) \stackrel{\text{???}}{=} x^{-1} \end{eqnarray*}$
Nein, sicher nicht.

20.11.2008, 20:52

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Wie kann ich das nun berechnen?

Hab mir die ganze Zeit gedacht:
Ich subratiere die Anzahl der Ableitung (den Exponent bei f , also eig. ja die Striche) von dem Grad der Ausgangsfunktion und bekomme den Grad der Ableitungsfunktion. Dies stimmt hier eventuell nicht, da es bei "n= k-2" eine Subtaktion gibt.

20.11.2008, 21:02

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das wäre so schon richtig, aber dieses Prinzip geht nur dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} \text{Anzahl der Ableitungen}+1 \leq \text{Grad der Funktion} \end{eqnarray*}$

oder:

Eine Funktion n-ten Grades kann man maximal (n+1)mal differenzieren.

20.11.2008, 21:09

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

ok

smile

wie komm ich sonst auf 0?

20.11.2008, 21:21

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Eine Funktion n-ten Grades kann man maximal (n+1)mal differenzieren.

geschockt

Jede Polynomfunktion ist unendlich oft differenzierbar.

20.11.2008, 21:25

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Jede Polynomfunktion ist unendlich oft differenzierbar.

Ja schon, aber dann hat man ja irgendwann

0,0,0,0,0,0,0.....

Also vielleicht hätte ich sagen müssen:

Eine Funktion n-ten Grades kann man maximal (n+1)mal "lohnenswert" differenzieren. Big Laugh

Big Laugh

20.11.2008, 21:25

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

20.11.2008, 22:28

gartenzwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

also lohnt es sich hier nicht zu differenzieren?

20.11.2008, 22:47

Arbmosal

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell dir einfach

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
als
$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \cdot x \end{eqnarray*}$
vor

dann wende die Rechenregel an und du bekommst....?

MfG

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »