Konvergenz von Reihen...

20.11.2008, 16:26

barthcar

Konvergenz von Reihen...

Hi Leute,

also ich hab gleich mehrere Probleme zu diesem Thema.

1) Ich habe folgende Reihe gegeben und soll einfach nur überpfüfen ob sie konvergent ist oder nicht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Quotientenkriterium (Limesform) verwende, muss ich im letzten Schritt den Grenzwert folgender Folge bilden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{2n+5} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich lautet der Grenzwert q=1, weshalb das Quotientenkriterium versagt.

Wie kann ich das nun also zeigen? Zum Beispiel mit d'Alembert, oder? Komme aber leider nicht drauf.

2) Ich habe folgende Reihen gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{q^{n}}{1-q^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n}q^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Man soll nachweisen für welche reellen Zahlen q die Reihen konvergent sind.
Im ersten Fall ist es ja noch überschaubar, dass es wahrscheinlich für $\begin{eqnarray*} 0\leq q<1 \end{eqnarray*}$ gilt. Im zweiten Fall ist es anscheinend nicht trivial...
Wie gehe ich hier vor? Hab wirklich keine Ahnung! Auch mit dem Quotientenkriterium?

Danke euch schonmal im Vorraus!

Carlo

20.11.2008, 16:48

Mathespezialschüler

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1) Versuch doch mal eine Minorante zu finden, die ein Vielfaches der harmonischen Reihe ist.

2) Im ersten Fall solltest du auf $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ kommen. Bei der zweiten kannst du einfach das Quotientenkriterium drauf loslassen. Aber warum versuchst du es nicht einfach anstatt zuerst zu fragen?

20.11.2008, 16:55

KDK

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Sorry hatte was versucht aber falscher Gedanke

22.11.2008, 17:07

barthcar

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Hi Leute,

also ich hab mich jetzt mal daran versucht, aber es sind neue Probleme aufgetaucht.
Also erstmal, wieso kann ich bei der zweiten Reihe von 2) das Quotientenkriterium verwenden? Das ist doch garkeine Reihe mit nur positiven Gliedern, so wie es die Definition des Kriteriums verlangt, oder?
Auch bei der ersten Reihe von 2) kam ich mit dem Kriterium nicht auf das gewünschte Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\cdot \frac{1-q^{n}}{q^{n}}=\frac{q-q^{n+1}}{1-q^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Davon muss ich ja dann den Grenzwert bilden, wofür ich also eine Fallunterscheidung gemacht habe. Und dafür habe ich erhalten:

für $\begin{eqnarray*} q>1:\quad Grenzwert=1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} q=1:\quad Grenzwert=0 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 0<q<1:\quad Grenzwert=\infty \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} -1<q<0:\quad Grenzwert=\infty \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} q<-1:\quad Grenzwert=1 \end{eqnarray*}$

Also habe ich die Konvergenz somit nur für q=1 nachgewiesen. Was habe ich da falsch gemacht.

Zu 1) habe ich lange überlegt aber ohne erflog. Wie sucht man denn nach so einer Minorante?

Danke euch trotzdem für eure Antworten!

Carlo

22.11.2008, 17:13

Akerbos

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Eine Minorante ist eine Reihe, bei der jeder Summand kleiner ist als bei der gegebenen. Finden durch draufschauen. Wenn du für eine solche Reihe Divergenz zeigen kannst, divergiert auch die gegebene Reihe.
Mit einer konvergierenden Majorante kann man analog Konvergenz zeigen (bei positiven Summanden und Monotonie).
Für Konvergenz geht auch noch, je eine Majorante und Minorante, die beide gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergieren, zu finden.

Hast du schon mal die Partialsummenfolgen betrachtet? Wenn ich mich recht entsinne, gibt es auf Folgen hilfreichere Sätze.

22.11.2008, 17:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von barthcar
Das ist doch garkeine Reihe mit nur positiven Gliedern, so wie es die Definition des Kriteriums verlangt, oder?

In meiner Definition des Quotientenkriteriums wird das nicht verlangt. Welche kennst du denn?

Zitat:

Original von barthcar
für $\begin{eqnarray*} q=1:\quad Grenzwert=0 \end{eqnarray*}$

Für q=1 ist die Reihe gar nicht definiert. smile

Zitat:

Original von barthcar
für $\begin{eqnarray*} 0<q<1:\quad Grenzwert=\infty \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} -1<q<0:\quad Grenzwert=\infty \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn darauf gekommen? verwirrt

22.11.2008, 19:34

barthcar

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Also unser Professor hat folgende Definition gegeben:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum~a_k \end{eqnarray*}$ eine Reihe die nur aus positiven Gliedern besteht.

Ist $\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ kovergent und $\begin{eqnarray*} lim(\frac {a_{n+1}}{a_n})=q \end{eqnarray*}$ ; so ist für q<1 die Reihe konvergent.

Würde mich wundern wenn das nicht stimmt...

Zu der 2. Frage von Klarsoweit:

Wenn ich den Grenzwert für 0<q<1 bilde erhalte ICH:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{q-q^{n+1}}{1-q^{n+1}}= \lim_{n \to \infty} \frac{q-(q\cdot q^{n})}{1-(q\cdot q^{n})}=\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{q}{q^n}-\lim_{n \to \infty}q}{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{q^n}-\lim_{n \to \infty}q}=\infty \end{eqnarray*}$

Was stimmt da nicht?

Zu Akerbos:

Das hilft mir nicht wirklich weiter. Ich weiß was Majoranten/Minoranten sind, aber wie komme ich darauf welche ich nehmen muss?

Danke euch,

Carlo

22.11.2008, 20:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von barthcar
Ist $\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ kovergent und $\begin{eqnarray*} lim(\frac {a_{n+1}}{a_n})=q \end{eqnarray*}$ ; so ist für q<1 die Reihe konvergent.

Würde mich wundern wenn das nicht stimmt...

Das ist ok, aber die Forderung, daß die Reihe nur aus positiven Gliedern besteht, ist eine unnötige Einschränkung. Allgemein gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} |\frac {a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}~|\frac {a_{n+1}}{a_n}| = q \end{eqnarray*}$ , so ist für q<1 die Reihe konvergent.

Zitat:

Original von barthcar
Was stimmt da nicht?

Einfach deine ganze Rechnung. Warum kürzt du gegen q^n ? Laß doch den ersten Term so stehen und überlege, wohin $\begin{eqnarray*} q^{n+1} \end{eqnarray*}$ für |q| < 1 konvergiert.

22.11.2008, 20:51

barthcar

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RE: Konvergenz von Reihen...
Hi Klarsoweit,

also erstmal danke für den Hinweis, hab jetzt kapiert warum das für 0<q<1 konvergieren muss.
Aber wegen der Definition werde ich wohl nochmal mit meinem Matheprofessor reden müssen, kann mir nicht vorstellen dass er das nur so zum Spass mit dieser angeblich "unnötigen Einschränkung" diktiert. Der Typ ist eigentlich immer Korrektheitsfanatiker. Ich informiere dich dann was er gesagt hat wenn du willst.

Besten dank!! Wink

Carlo

22.11.2008, 20:56

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Zitat:

Original von barthcar
Ich informiere dich dann was er gesagt hat wenn du willst.

Ich glaube nicht, dass klarsoweit sich bei so grundlegenden Fragen der Analysis noch belehren lassen muss. Augenzwinkern

Dein Prof hat da eben nur über Reihen mit positiven Gliedern gesprochen, und in dem Fall ist der Betrag dann ja unnötig.

22.11.2008, 22:41

Akerbos

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Zitat:

Original von barthcar
Zu Akerbos:

Das hilft mir nicht wirklich weiter. Ich weiß was Majoranten/Minoranten sind, aber wie komme ich darauf welche ich nehmen muss?

Das ist einer der Punkte, wegen denen in der Studienfachbeschreibung als Anforderung "Kreativität" steht. Du musst eine möglichst simple Reihe (damit du leicht Konvergenz/Divergenz zeigen kannst) nehmen, die möglich offensichtlich Majorante/Minorante ist. Dafür gibts kein Patentrezept (, das ich kenne).
Übungsaufgaben sind oft so gestrickt, dass es wohlbekannte Reihen tun, also zB $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ oder sowas.

23.11.2008, 16:05

barthcar

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Morgen Leute,

also die Reihen von 2) habe ich jetzt hingekriegt.
Beschäftige mich grad noch mit 1).
Offensichtlich ist ja die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$ eine Minorante zur gegebenen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{2n+3} \end{eqnarray*}$ (@Akerbos: ich hoffe ich habe dadurch jetzt genug Kreativität bewiesen, wobei ich noch anmerken wollte, dass ich kein Mathematik-Student bin). Und sie ist zudem ein Vielfaches der harmonischen Reihe. Dass die harmonische Reihe divergent ist haben wir schon einmal nachgewiesen. Ist die Aufgabe damit also gelöst?

Danke euch für eure Geduld...

Carlo

25.11.2008, 00:22

Akerbos

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Zitat:

Original von barthcar
Offensichtlich ist ja die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{3n} \end{eqnarray*}$ eine Minorante zur gegebenen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Wenn die formale Definition, die ihr hattet, tatsächlich für _alle_ Werte fordert, dass die Minorante kleiner-gleich ist (nicht etwa für fast alle), dann musst du für $\begin{eqnarray*} n=1, 2 \end{eqnarray*}$ die Werte anpassen. Sollte aber nicht nötig sein.

Zitat:

(@Akerbos: ich hoffe ich habe dadurch jetzt genug Kreativität bewiesen, wobei ich noch anmerken wollte, dass ich kein Mathematik-Student bin).

Für diese Aufgabe, ja! smile

War gar nicht so schwer, oder? Was studierst du? Hoffentlich war dir vorher klar, dass du Mathe haben wirst?

Zitat:

Und sie ist zudem ein Vielfaches der harmonischen Reihe. Dass die harmonische Reihe divergent ist haben wir schon einmal nachgewiesen. Ist die Aufgabe damit also gelöst?

Meinem bescheidenen Verständnis für die Materie nach: ja.

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