Konvergenz und absolute Konvergenz

20.11.2008, 18:13

energyfull

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Konvergenz und absolute Konvergenz

hallo mathematiker,

habe eine frage, und zwar soll ich die reihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~z_n \end{eqnarray*}$ auf konvergenz und absolute konvergenz überprüfen:

1) $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$

also da habe ich: da die wurzel monoton steigend ist, ist ja der gesamte Bruch monoton fallend und somit ist diese Reihe konvergent.
daher : $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$ -> 0

2) $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}n + i^{n} }{n^{2} } \end{eqnarray*}$
hier bin ich mir nicht sicher, weiss auch nicht wie ich das machen soll

3) $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \frac{n+2}{n^{2}+4 } \end{eqnarray*}$ ,
also hier habe ich das so gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{n^{2} } }{1+ \frac{4}{n^{2} } } \end{eqnarray*}$ -> 0
d.h das die absolut konvergenz ist.
kann mal jemand gucken ob ich das richtig gemacht habe und bei der 2) einer mir helfen bitte

20.11.2008, 18:18

klarsoweit

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RE: Konvergenz und absolute Konvergenz

Zitat:

Original von energyfull
3) $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \frac{n+2}{n^{2}+4 } \end{eqnarray*}$ ,
also hier habe ich das so gemacht:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{n^{2} } }{1+ \frac{4}{n^{2} } } \end{eqnarray*}$ -> 0
d.h das die absolut konvergenz ist.

Die Reihe über diese Folge ist nicht absolut konvergent, wie man sich auch leicht überlegen kann.

Im übrigen müßtest du den Bruch umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1 n + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{4}{n^2}} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2008, 18:28

energyfull

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also ich habe es jetzt verbessert,

also ist die 3 dann nur konvergenz.

und kann mir einer bei der 2) helfen bitte

20.11.2008, 18:40

klarsoweit

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Bei 2 müßtest du den Bruch mal auseinander ziehen.

20.11.2008, 18:43

Mathespezialschüler

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1) korrekt, was ist mit der absoluten Konvergenz?

2) $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^nn+\operatorname i^n}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{\operatorname i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Das sollte helfen.
Wäre die Reihe absolut konvergent, dann müsste auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~|z_{2n}| \end{eqnarray*}$ konvergieren und das kann man widerlegen.

3) Diese Begründung ist falsch. Warum sollte sie dann absolut konvergieren?

Wenn du eingesehen hast, dass das falsch ist, dann begründe doch mal, dass sie nicht absolut konvergiert. Außerdem musst du auch begründen, warum sie konvergiert.

20.11.2008, 19:22

energyfull

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mit der absoluten konvergenz habe ich da wohl glaub ich nicht so verstanden

also bei der 2)

da hier auch der nenner zum unendlichen wächst, d.h monoton steigt, ist dadurch der bruch monoton fallend d.h das es konvergent ist

können sie mir das nochmal mit der absoluten konvergenz erkären auch bezüglich diesen beispielen

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20.11.2008, 20:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von energyfull
da hier auch der nenner zum unendlichen wächst, d.h monoton steigt, ist dadurch der bruch monoton fallend d.h das es konvergent ist

Bestimmte Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ impliziert nicht monotones Wachsen. Argumentiere einfach direkt: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Folge. Damit ist die Reihe über die ersten Summanden konvergent. Was ist mit der Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Wie ist bei der 3 deine Begründung für die Konvergenz?

Und zur absoluten Konvergenz: Wie ist diese denn definiert?

20.11.2008, 20:37

energyfull

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also bei der 3

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0,

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n²} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen 0, d.h. das der gesamte zähler gegen 0 konvergiert

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{n²} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen 0, also bleibt im nenner nur noch die 1.

und wenn man 0 durch eine zahl teilt, kommt 0 raus also konvergent.

bei der 2) das mit
$\begin{eqnarray*} \frac{i^{n}}{n²} \end{eqnarray*}$

da bin ich mir nicht so sehr sicher:

und ich weiss auch irgendwie nicht wie man den begriff absolute konvergenz bezüglich dieser 3 reihen anwenden soll

20.11.2008, 20:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von energyfull
also bei der 3

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0,

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n²} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen 0, d.h. das der gesamte zähler gegen 0 konvergiert

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{n²} \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen 0, also bleibt im nenner nur noch die 1.

und wenn man 0 durch eine zahl teilt, kommt 0 raus also konvergent.

Moment, ganz langsam bitte. Woher kommt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , woher kommt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$ und was für einen Zähler meinst du? Falls es um $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}} \end{eqnarray*}$ geht, dann hast du zwar jetzt gezeigt, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}\right) \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert, aber daraus kannst du absolut gar nichts über die Konvergenz der zugehörigen Reihe aussagen. Oder was genau sollte jetzt das Argument für die Konvergenz der Reihe sein?

Zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{\operatorname i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ : Zeige, dass diese Reihe absolut konvergiert.

Und um über die absolute Konvergenz zu reden, hätte ich, wie gesagt, gerne einmal die Definition von dir gehört.

20.11.2008, 21:16

energyfull

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asoo ich dachte man kann mit der konvergenten folge auch sagen das die reihe konvergent ist.

hmm,

zur absoluten konvergenz:

also eine reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ heisst absolut konvergent, wenn die reihe der absolutbeträge $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~|a_n| \end{eqnarray*}$ konvergiert.

???

20.11.2008, 22:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von energyfull
asoo ich dachte man kann mit der konvergenten folge auch sagen das die reihe konvergent ist.

Dieser Irrglaube sollte sich spätestens mit der Divergenz der harmonischen Reihe erledigt haben.

Wie wäre es, wenn du nochmal genau sagst, welche Aufgabe du betrachtest und welche Überlegungen du bezüglich Konvergenz und absoluter Konvergenz anstellst?

20.11.2008, 22:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von energyfull
asoo ich dachte man kann mit der konvergenten folge auch sagen das die reihe konvergent ist.

Die konstante Folge $\begin{eqnarray*} (1,1,1,1,\ldots) \end{eqnarray*}$ konvergiert auch. Konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}=1+1+1+1+1+\ldots \end{eqnarray*}$ ? Ganz sicher nicht ... Aber abgesehen davon reicht es auch nicht, dass die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden, siehe klarsoweits Bemerkung.

20.11.2008, 22:25

energyfull

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also die 1) haben wir ja schon geklärt da haben wir ja gesagt das sie konvergiert

aber bei der 2) bin ich mir jetzt gar nicht mehr sicher eher verwirrt, konvergiert sie oder nicht.

und bei der 3) auch nicht mehr???

und die absolute konvergenz kann ich auch nicht anwenden

bin total verwirrt???

traurig

traurig

21.11.2008, 02:25

Soz.Päd.

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Guten Tag,

versuchen wir es mit der Definition:
Eine Reihe (a(1) + a(2) + .... ) mit unendlich vielen Gliedern a(n) konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert a, wenn sie sich ihm analog wie bei einer konvergierenden Folge annähert, d.h:
Zu jedem beliebigen e > 0 gibt es ein k e N, so dass für alle m >= k gilt:

Betrag ( (a(1) + a(2) + ... a(k) + a(k+1) + ... a(m)) - a) < e für alle m >= k.

Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zu folgender Aussage ist:
Eine Reihe mit unendlich vielen Gliedern a(n) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem e > 0 ein k e N gibt, so dass für alle m >= k gillt:

Betrag ( a(k) + a(k+1) + a(k+2) + ... a(m) ) < e.

Daraus kann man nun ableiten, indem wir die obige Aussage verneinen:
Eine Reihe konvergiert genau dann nicht (also divigiert), wenn es zu einem "Ausnahmeepsilon" e' kein k e N gibt, so dass für alle m >= k obige Abschätzung gilt: D.h.

Für dieses "Ausnahmeepsilon" e' gilt: Zu jedem k e N gibt es ein m >= k, so dass:
Betrag ( a(k) + a(k+1) + ... a(m) ) > e'. (Man berücksichtige: ">")

Dabei ist bei diesem e' zu beachten, dass k beliebig sein kann, immer existiert ein solches m >= k.

Daran sieht man, dass aus der Konvergenz der Folge a(n) gegen "0" keine Konvergenz der Reihe folgt, die aus den Gliedern a(n) besteht, denn schließlich werden in der Reihe ja unendlich viele Glieder addiert; da die Folge sich ja eventuell nur "0" annähert, es also a(k) geben kann, die sehr klein, aber eben nicht "0" sind, kann durch die Addition von unendlich vielen kleinen Gliedern doch eine Divergenz herrühren, wie die hormonische Reihe (1/1 + 1/2 + 1/3 ... ) zeigt.

Eine Reihe aus unendlich vielen Gliedern a(n) konvergiert genau dann absolut,
wenn "Betrag (a1) + Betrag (a2) + Betrag (a3) .... " konvergiert.
In den obigen Ungleichungen sind dann einfach die Beträge entsprechend zu setzen.

Beim Lösen der Aufgaben kommt es nun darauf an, auf welche Grenzwertbetrachtungen und Sätze ihr zurückgreifen dürft.

1. "1/(Wurzel (n + 2))" ist monoton fallend und konvergiert gegen Null - daraus kann man aber noch nicht die Konvergenz der Reihe schließen. Da sich aber immer das Vorzeichen durch (-1)^n ändert, entsteht sowas wie eine "Intervallschachtelung": Das Leipnzig-Kriterium liefert für diese Fälle eine entsprechendeAussage (dürf ihr das verwenden?).

Zur absoluten Konvergenz: Es ist
Betrag (z(n)) >= 1/(n+2).
Man denke an die harmonische Reihe und leite daraus eine Aussage ab.

Ja, und nun versuche mal 1. und 2. analog.

Gruß
Soz.Päd.

21.11.2008, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von energyfull
aber bei der 2) bin ich mir jetzt gar nicht mehr sicher eher verwirrt, konvergiert sie oder nicht.

Ja, sie konvergiert. Du brauchst doch nur die Tipps nutzen:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
2) $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^nn+\operatorname i^n}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{\operatorname i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Das sollte helfen.

Zitat:

Original von energyfull
und bei der 3) auch nicht mehr???

Auch die konvergiert, allerdings fehlt der Nachweis.

Zitat:

Original von energyfull
und die absolute konvergenz kann ich auch nicht anwenden

Du sollst die nicht anwenden, sondern ihr Vorliegen beweisen oder widerlegen. Dazu brauchst du doch nur den Betrag der Folgenglieder bilden und davon dann die Reihe betrachten.

21.11.2008, 16:08

energyfull

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also jetzt bei der 1)

wenn wir das in be trag setzen kommt da

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+2} } \end{eqnarray*}$

heisst das jetzt das die nicht absolut konvergent ist???

21.11.2008, 17:37

Mathespezialschüler

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Wenn du noch ein Reihenzeichen davor schreibst, dann stimmt das. Und ja genau, diese ist dann nicht absolut konvergent.

War doch gar nicht so schwierig oder? Einfach die Beträge der Glieder bilden und die neue Reihe auf Konvergenz untersuchen.

21.11.2008, 19:07

energyfull

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ok die 1 ist erledigt, sie ist konvergent aber nicht absolut konvergent.

2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\mid \frac{(-1)^{n}}{n}+ \frac{i^{n} }{n²} \mid \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \frac{i}{n²} \end{eqnarray*}$

ist auch nicht absolut konvergenz stimmts??

21.11.2008, 20:35

energyfull

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ich weiss auch nicht wie ich die konvergenz in 3) nachweisen soll

???

21.11.2008, 22:11

Mathespezialschüler

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Der Betrag ist falsch ausgerechnet. Wie ist denn der Betrag einer komplexen Zahl definiert? Wir machen erstmal 2) zu Ende und danach 3).

21.11.2008, 22:35

energyfull

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der betrag einer komplexen zahl ist:

|z|= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x²+y²} \end{eqnarray*}$

21.11.2008, 23:33

Mathespezialschüler

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Ok, und jetzt berechne nochmal den Betrag da oben, und zwar einmal für gerades und dann für unegrades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

21.11.2008, 23:53

energyfull

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irgend wie bekomme ich das nicht auf die reihe.

mit geraden und ungeraden n´s. und dann noch betrag von komplexen zahlen

22.11.2008, 00:41

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ ist und du das einsetzt, was kommt dann raus?

22.11.2008, 14:02

energyfull

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irgendwie bin ich zu dumm für diese aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + \frac{i^{2k} }{n²} \end{eqnarray*}$

???

22.11.2008, 15:29

klarsoweit

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Also jetzt nehmen wir nochmal einen Anlauf für die 2. Aufgabe. Wenn ich das richtig sehe, fehlt da immer noch der Beweis der Konvergenz. Wir zerlegen den Summenterm in $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^nn+\operatorname i^n}{n^2} = \frac{(-1)^n}{n}+\frac{\operatorname i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du über die Konvergenz der Reihe über den ersten Summanden sagen? Bei dem 2. Summanden nimmt du den Betrag und prüfst auch da die Konvergenz.

22.11.2008, 15:35

energyfull

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also über den ersten summanden kann ich sagen, das sie nich absolut konvergent ist, das hatten wir in der vorlsesung gesagt,

aber mein problem ist ja halt mit dem zweiten summanden, wenn ich das in betrag striche setze weiss ich nich wie ich das weitermachen soll

22.11.2008, 15:49

klarsoweit

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Erstmal geht es um die normale Konvergenz, oder? Was ist denn |i^n| ? Die Idee der Geschichte ist, daß wir uns die Konvergenz von der Reihe über $\begin{eqnarray*} |\frac{i^n}{n^2}| \end{eqnarray*}$ anschauen. Wenn die konvergiert, konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \frac{i^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2008, 18:45

energyfull

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das konvergiert doch

aber mir fällt es schwer das zu zeigen

22.11.2008, 18:54

klarsoweit

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Meine Frage sollen ja dahin führen. Aber etwas mußt du auch tun. Z. B. sagen, was |i^n| ist?

22.11.2008, 19:06

energyfull

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$\begin{eqnarray*} i^{2k} \end{eqnarray*}$

da ja gesagt wurde, das n=2k ist

22.11.2008, 19:29

klarsoweit

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Das mit n=2k wollte Mathespezialschüler machen, das ist aber nicht mein Weg.

22.11.2008, 21:10

energyfull

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ich würde jetzt sagen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{i^{n} }{n²}| = \frac{i}{n²} \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 01:56

Mathespezialschüler

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Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert? Da keine keine echt-komplexe Zahl rauskommen! Es gilt $\begin{eqnarray*} |\operatorname i|=1 \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} |\operatorname i^n| \end{eqnarray*}$ ?

@klarsoweit
Die Aufteilung in gerade und ungerade Indizes wollte ich bei der absoluten Konvergenz anwenden.

23.11.2008, 10:59

energyfull

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x²+y2}^{n}}{n²} \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 11:41

klarsoweit

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verwirrt

Also wir blieben erstmal bei dem Thema, was |i^n| ist stehen. Wie willst du solche Aufgaben rechnen, wenn dir grundlegende Kenntnisse über die Eigenschaften komplexer Zahlen fehlen?

Tipp dazu: Für jede komplexe Zahl z gilt: |z^n| = |z|^n

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