Permutationen, Permutationsgruppe

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20.11.2008, 19:12	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationen, Permutationsgruppe Hey Hier erstmal die Aufgabe, um die es geht: Ist X eine endliche Menge, also beispielsweise $\begin{eqnarray} X = \{1,\dots,n\} \end{eqnarray}$ , dann nennt man $\begin{eqnarray} S(X)=: S_n \textrm{Permutationsgruppe} \end{eqnarray}$ , da alle bijektiven Abbildungen von der Menge X insich selbst genau die Permutationen der Zahlen 1,...,n darstellen. (1) Machen Sie sich klar, dass es für n Elemente genau n! Permutationen gibt (wenn Sie wollen, zeigen Sie dieses mithilfe des Prinzips der vollständigen Induktion). Diese werden mit $\begin{eqnarray} \pi _1, \pi _2,\dots, \pi_n! \end{eqnarray}$ bezeichnet und häufig in der Form $\begin{eqnarray} \pi _i = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ \pi_i(1) & \pi_i(2) & \dots & \pi_i(n)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ geschrieben. (2) Überlegen Sie sich, dass man die Elemente der Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ als Drehungen und Spiegelungen eines gleichseitigen Dreiecks interpretieren kann. (3) Die Komposition $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ als Verknüpfung von Permutationen $\begin{eqnarray} \pi_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi_j \end{eqnarray}$ ist hier natürlich so zu verstehen: $\begin{eqnarray} \pi _j \circ \pi_i = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ \pi_j(\pi_i(1)) & \pi_j(\pi_i(2)) & \dots & \pi_j(\pi_i(n))\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stellen DIe die Verknüpfungstafel der Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ auf. Geben Sie von jeder Permutation $\begin{eqnarray} \pi_i \end{eqnarray}$ das inverse Element an. Ist die Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ abelsch? _____________________________________________________________ Also, mir fehlen da irgendwie absolut die Ansätze. Habe keine Ahnung, wie ich da eine vollständige Induktion beginnen könnte und auch bei (2) und (3) steh ich grad vollkommen auf dem Schlauch Danke für Hilfe
20.11.2008, 19:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen, Permutationsgruppe Du musst das ja auch nicht per Induktion zeigen. Mach Dich mit dem ganzen erst mal per Beispiel vertraut. Überlege auf welche Arten man drei Elemente vertauschen kann, schreibe dazu dann die Permutationen auf. (Insgesamt sechs )
20.11.2008, 20:04	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, für n=3 würde ich das jetzt so aufschreiben: $\begin{eqnarray} \pi_1 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi_2 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi_3 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi_4 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi_5 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \pi_6 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Richtig?
20.11.2008, 20:16	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig Und nun verallgemeinern wir das: Wenn Du eine beliebige Permutation aus $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ basteln willst: $\begin{eqnarray} \pi_1 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots &n \\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf wie viele Elemente kann dann die 1 abgebildet werden, also wie viele mögliche Belegungen gibt es für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ , wie viele Möglichkeiten bleiben danach für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , dann für $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ usw. Damit siehst Du wie viele verschiedene Elemente es in der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ gibt, ganz ohne Induktion. Zu (2): Male Dir ein gleichseitiges Dreieck auf, beschrifte die Ecken mit 1,2,3 und vergleiche dann die von Dir bereits angegebenen Permutationen mit möglichen Spiegelungen und Drehungen des Dreiecks.
21.11.2008, 08:10	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen, Permutationsgruppe also zu (1) für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ gibt es n Belegungsmöglichkeiten, für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ bleiben dann noch n-1 Möglichkeiten; für $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ n-2 und für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ 1 Möglichkeit. Ok, das habe ich verstanden zu (2) Das habe ich jetzt auch verstanden Ich zeichne mir ein gleichseitiges Dreieck, beschrifte die Seiten mit 1, 2 und 3. Wenn ich das Dreieck dann 2 mal drehe, habe ich 3 "unterschiedliche" Dreieck. Wenn ich diese 3 Dreiecke dann jeweils spiegele, habe ich insgesamt 6 unterschiedliche Dreiecke. So, jetzt zur (3): Auf dem Blatt hier ist noch ein Beispiel dazu: $\begin{eqnarray} \pi _2, \pi_5 \end{eqnarray}$ der Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \pi _2 \circ \pi_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} = \pi _6 \end{eqnarray}$ Dieses Beispiel kann ich irgendwie nicht so ganz nachvollziehen Und was die Verknüpfungstafel betrifft, weiß ich nicht wie ich da anfangen soll...
21.11.2008, 08:19	tobsennn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen, Permutationsgruppe Zu (3) Du wendest erst $\begin{eqnarray} \pi_{5} \end{eqnarray}$ an und danach dann $\begin{eqnarray} \pi_{2} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \pi_{5} \end{eqnarray}$ "wirft" die 1 auf die 1 und $\begin{eqnarray} \pi_{2} \end{eqnarray}$ dann die 1 auf die 3 $\begin{eqnarray} \pi_{5} \end{eqnarray}$ "wirft" die 2 auf die 3 und $\begin{eqnarray} \pi_{2} \end{eqnarray}$ dann die 3 auf die 2 $\begin{eqnarray} \pi_{5} \end{eqnarray}$ "wirft" die 3 auf die 2 und $\begin{eqnarray} \pi_{2} \end{eqnarray}$ dann die 2 auf die 1 Jetzt solltest Du die anderen auch bilden können.
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21.11.2008, 22:37	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen, Permutationsgruppe Ok. Ich habe mich mal an der Verknüpfungstafel versucht: [attach]9214[/attach] Ich weiß, sehr unordentlich Stimmt das so? Mir kommt es komisch vor, dass in der Diagonale nicht überall $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ steht Aber habe das jetzt schon mehrmals überprüft und komme immer wieder darauf... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist neutrales Element dieser Gruppe, da ja in der ersten Spalte und in der ersten Reihe immer wieder das "Urpsungselement" rauskommt... Naja, vll hat ja jmd einen Tipp bzw. kann mir sagen, wo mein Fehler liegt, wenn einer drin ist
22.11.2008, 13:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen, Permutationsgruppe Es muss doch nicht immer alles gleich falsch sein Bis auf zwei kleine Fehler ist das auch in Ordnung. (Habe jedenfalls nicht mehr entdeckt.) Dass auf der Diagonale nicht immer das Einselement steht, ist darauf zurückzuführen, dass es Elemente unterschiedlicher Ordnung gibt. Auf der Diagonalen steht ja immer $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und bei manchen Elementen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist eben $\begin{eqnarray} x^2\neq 1 \end{eqnarray}$ . Nebenbei bemerkt sieht man das viel besser, wenn man die Zyklenschreibweise verwendet. Was ist nun mit (3)? Ist die Gruppe abelsch? Was ist jeweils das inverse Element?
22.11.2008, 13:30	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn ich mir die Verknüpfungstafel so anschaue, würde ich sagen, dass die Gruppe nicht abelsch ist und es kein eindeutiges inverses Element gibt
22.11.2008, 13:34	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht abelsch ist richtig, da die Verknüpfungstafel nicht symmetrisch ist. Gib einfach zwei Elemente x,y an, mit $\begin{eqnarray} xy\neq yx \end{eqnarray}$ , das reicht dann aus. "kein eindeutiges inverses Element" ist Quatsch, denn das widerspricht ja den Gruppenaxiomen. Zu jedem x in dieser Gruppe existiert ein eindeutiges y, mit $\begin{eqnarray} xy=e_G=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
22.11.2008, 13:40	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... stimmt Die Elemente $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben jeweils sich selbst als inverses Element (kann man das so sagen? ). Und die beiden Elemente $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jeweils sich "gegenseitig" als inverses Element...
22.11.2008, 13:46	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt so!
22.11.2008, 13:47	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh cool Danke für deine Hilfe!

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