Komplexe Ungleichungen in der Gauß'schen Zahleneben darstellen

20.11.2008, 19:47

bappi

Komplexe Ungleichungen in der Gauß'schen Zahleneben darstellen

Hai!

Ich soll folgende Ungleichungen in der Gauß'schen Zahleneben skizzieren:

b) $\begin{eqnarray*} | z - 4\mathrm i - 3| \leq 5 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \left|z - \frac{1}{4}\mathrm i\right| \leq \mathrm{Im}(z) - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Bei b) war mein Ansatz die Ungleichung aufzulösen, d.h.

$\begin{eqnarray*} | z - 4\mathrm i - 3| \leq 5 \Rightarrow -5 \leq z - 4\mathrm i - 3 \leq 5 \Rightarrow -2 + 4\mathrm i \leq z \leq 8 + 4\mathrm i \end{eqnarray*}$

D.h Wenn ich mir die beiden Komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} w_1 := -2 + 4 \mathrm i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 := 8 + 4\mathrm i \end{eqnarray*}$ auf der Gauß'schen Zahlenebene einzeichnen, ist die "Fläche" dazwischen doch genau , was diese Ungleichung erfüllt oder?

c) Fehlt mir irgendwie komplett der Ansatz...ich weiß nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(z) \end{eqnarray*}$ in der Gleichung verstehen bzw. "verarbeiten" soll.

MfG!

20.11.2008, 19:50

Dual Space

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RE: Komplexe Ungleichungen in der Gauß'schen Zahleneben darstellen
Denke bei b) doch mal an die Kreisgleichung.

Zitat:

Original von bappi
$\begin{eqnarray*} | z - 4\mathrm i - 3| \leq 5 \Rightarrow -5 \leq z - 4\mathrm i - 3 \leq 5 \Rightarrow -2 + 4\mathrm i \leq z \leq 8 + 4\mathrm i \end{eqnarray*}$

Um Gottes Willen! geschockt

Erklär mir doch mal, wann eine komplexe Zahl größer sein soll als eine andere. unglücklich

20.11.2008, 20:08

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RE: Komplexe Ungleichungen in der Gauß'schen Zahleneben darstellen

Zitat:

Original von bappi
c) Fehlt mir irgendwie komplett der Ansatz...ich weiß nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(z) \end{eqnarray*}$ in der Gleichung verstehen bzw. "verarbeiten" soll.

Probiers doch einfach mit dem naheliegenden $\begin{eqnarray*} z=x + iy \end{eqnarray*}$ :

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \left|z - \frac{1}{4} i\right| = \left|x + i\left(y- \frac{1}{4} \right) \right| = \sqrt{x^2 + \left(y- \frac{1}{4} \right)^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(z) = y \end{eqnarray*}$ .

20.11.2008, 20:28

bappi

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Ok ich hab nur stur gerechnet und nicht nachgedacht, sry Big Laugh

. Natürlich geht das nicht...

Ja nach der Überlegung ist also

$\begin{eqnarray*} |z - (3 + 4\mathrm i)| < 5 \end{eqnarray*}$

also mit $\begin{eqnarray*} w := 3 + 4\mathrm i = 5\cos\arctan\frac{4}{3} + \mathrm i \sin\arctan\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \arctan \frac{4}{3} \approx 59° \end{eqnarray*}$

Und wie muss ich jetzt das $\begin{eqnarray*} \leq 5 \end{eqnarray*}$ verstehen?

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \left|z - \frac{1}{4} i\right| = \left|x + i\left(y- \frac{1}{4} \right) \right| = \sqrt{x^2 + \left(y- \frac{1}{4} \right)^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(z) = y \end{eqnarray*}$ .

Also ist dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + \left(y- \frac{1}{4} \right)^2} \leq y - \frac{1}{4} \Rightarrow x^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Was ja dann also bedeuten würde, dass damit alle $\begin{eqnarray*} x\mathrm i \in (-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ gemeint sind?

Schon mal danke für die Hilfe!

20.11.2008, 20:51

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Zitat:

Original von bappi
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + \left(y- \frac{1}{4} \right)^2} \leq y - \frac{1}{4} \Rightarrow x^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Der Implikationspfeil $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist hier vollkommen richtig:

Eine Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ist das aber hier NICHT (wegen der dazwischen liegenden Quadrierung), das solltest du noch bedenken...

Ach ja, noch was: $\begin{eqnarray*} x^2\leq 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet nur $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Du hast das anscheinend mit $\begin{eqnarray*} x^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ verwechselt - bitte genau anschauen!

20.11.2008, 21:08

bappi

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Heißt das dann nicht, wenn $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass es eine Konstant bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt?

20.11.2008, 21:23

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Zitat:

Original von bappi
Heißt das dann nicht, wenn $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass es eine Konstant bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt?

Noch so ein unverständlicher Satz.

Mal klar und deutlich: Welche komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z=x+yi \end{eqnarray*}$ hast du nach deinen Umformungen als Lösung herausgekriegt?

20.11.2008, 21:47

bappi

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Also ich weiß nur, dass aus $\begin{eqnarray*} x^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie ich damit die komplexen Zahlen berechnen soll, weiß ich leider nicht unglücklich

20.11.2008, 22:04

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Ja meine Güte, x=0 bedeutet dann eben, dass nur $\begin{eqnarray*} z=iy \end{eqnarray*}$ als Lösungen in Frage kommen, also die Punkte auf der imaginären Achse.

Das ist doch aber gar nicht der Punkt, auf den ich hinaus will, sondern der: Nicht alle Punkte auf der imaginären Achse sind Lösungen der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left|z - \frac{1}{4}\mathrm i\right| \leq \mathrm{Im}(z) - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , sondern nur welche?

20.11.2008, 22:24

bappi

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Alle Punkte $\begin{eqnarray*} z = y\mathrm i \end{eqnarray*}$ , die die Ungleichung erfüllen, also

$\begin{eqnarray*} \left|y\mathrm i - \frac{1}{4}\mathrm i\right| = \left|\left(y - \frac{1}{4}\right)\mathrm i\right|\leq y - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

(Leider hat uns unser Prof dazu nur die Definitionen, der Eulerschreibweise und der Zahlenebene gegeben und im Heuser/Forster ist es leider auch kaum etwas dazu erläutert, deshalb tu ich mich grad etwas schwer...)

20.11.2008, 22:42

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Zitat:

Original von bappi
Alle Punkte $\begin{eqnarray*} z = y\mathrm i \end{eqnarray*}$ , die die Ungleichung erfüllen, also

$\begin{eqnarray*} \left|y\mathrm i - \frac{1}{4}\mathrm i\right| = \left|\left(y - \frac{1}{4}\right)\mathrm i\right|\leq y - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

Eine wahrhafte Politikerantwort: Du hast dich im Kreis gedreht und sagst:

Die Lösungen der Ungleichung sind die Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Finger1

Also mal ganz anders: Ich nenne dir ein paar komplexe Zahlen, die auf der imaginären Achse liegen, und du sagst mir, ob sie deine Ungleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} z=-i \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} z=\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} z=\frac{i}{4} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} z=\frac{i}{8} \end{eqnarray*}$ ?

20.11.2008, 22:52

bappi

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Ich schreibs mal etwas schludrig, dass es schneller geht:

|i - i/4| = 3/4 <= 1 + 1/4 wahr

|3/4i| <= 3/4 wahr

|-i/4| = 1/4 <= -1/4 falsch

|i/2| = 1/2 <= 1/4 falsch

1/4 <= 0 falsch

1/8 <= -1/8 falsch

20.11.2008, 22:55

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Genau, also ist NICHT die gesamte imaginäre Achse Lösung dieser Ungleichung, sondern nur welcher Teil?

(Mann, ist das mühsam...)

20.11.2008, 22:58

bappi

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Mir war nicht klar, dass die imaginäre Einheit durch den Betrag verschwindet, dass ist mir grad erst durch die Definition klar geworden...

Also formal

$\begin{eqnarray*} \left|y\mathrm i - \frac{1}{4}\mathrm i\right| = \frac{1}{4} - y \leq y - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} y \in \left[\frac{1}{4}, \infty\right) \end{eqnarray*}$

20.11.2008, 23:30

bappi

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Dafür hab ich jetzt verstanden, wie es geht, und mir ist vieles klarer. Vielen Dank smile

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