Oha, die Herleitung

02.06.2004, 17:25

Philipp18

Oha, die Herleitung

Hi Leute! Ich schreibe morgen 'ne Klausur und bräucht eine kleine Denkhilfe:

Die Herleitung der Formeln für Kegel und Pyramidenstümpfe! verwirrt

Könnte mir da wer helfen? Wäre toll! Gott

02.06.2004, 17:27

Leopold

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Diese Fragestellung hatten wir hier schon sehr oft. Vielleicht gibst du einfach bei "suchen" den passenden Begriff ein und siehst weiter.

02.06.2004, 17:39

Philipp18

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Ja, aber dummerweise nicht für kegelstümpfe, bzw. Pyramiedenstümpfe. traurig

02.06.2004, 17:47

m00xi

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Das kannst du dir ganz leicht selbst herleiten Phillip. Schau, ich selber benutze auch nie die vorgefertigten Formeln, ich überlege mir das immer so:
Für Kegel:
Das Volumen eines Kegelstumpfes ist das Volumen des Kegelstumpfes mit dem großen Radius $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ und der Gesamthöhe des gedacht vollendeten Kegels minus dem VOlumen des kleinen Kegels, der vom großen Kegel ja abgeschnitten wurde. Damit benutze ich immer für einen Kegelstumpf mit Radius unten = $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ und Radius "oben" $\begin{align*} =r_2 \end{align*}$ sowieso die gesamt ( $\begin{align*} h_g \end{align*}$ )und die Kegelstumpfhöhe $\begin{align*} h_s \end{align*}$ :
$\begin{align*} V_{Kegelstumpf}=V_{Gesamt}-V_{Klein}=\frac{1}{3}~\pi r_1~^2 h_g - \frac{1}{3}~\pi r_2~^2 (h_g-h_s) \end{align*}$
Klar geworden? Mit der Pyramide ist das nicht groß anders.

02.06.2004, 17:58

Leopold

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Aber vielleicht sucht Philipp18 ja die Formel, die ohne die Gesamthöhe auskommt.

Worum geht es genau? Willst du diese Formel beweisen?

Oder willst du bei einem konkret vorgegebenen Kegelstumpf das Volumen berechnen?

Im zweiten Fall würde ich auch m00xis Methode vorschlagen. Falls die Höhe des gesamten Kegels nicht gegeben ist, kann sie via Strahlensatz ermittelt werden.

02.06.2004, 18:19

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von m00xi
Das kannst du dir ganz leicht selbst herleiten Phillip. Schau, ich selber benutze auch nie die vorgefertigten Formeln, ich überlege mir das immer so:
Für Kegel:
Das Volumen eines Kegelstumpfes ist das Volumen des Kegelstumpfes mit dem großen Radius $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ und der Gesamthöhe des gedacht vollendeten Kegels minus dem VOlumen des kleinen Kegels, der vom großen Kegel ja abgeschnitten wurde. Damit benutze ich immer für einen Kegelstumpf mit Radius unten = $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ und Radius "oben" $\begin{align*} =r_2 \end{align*}$ sowieso die gesamt ( $\begin{align*} h_g \end{align*}$ )und die Kegelstumpfhöhe $\begin{align*} h_s \end{align*}$ :
$\begin{align*} V_{Kegelstumpf}=V_{Gesamt}-V_{Klein}=\frac{1}{3}~\pi r_1~^2 h_g - \frac{1}{3}~\pi r_2~^2 (h_g-h_s) \end{align*}$
Klar geworden? Mit der Pyramide ist das nicht groß anders.

Die Formel finde ich ziemlich sinnlos. Da müsste man ja immer erst Strahlensatz machen, um die Gesamthöhe rauszubekommen.

02.06.2004, 18:24

Leopold

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Das ist doch gerade die Ökonomie in der Mathematik.
Schwache Schüler erkenne ich immer daran, daß sie tausend Formeln auswendig lernen, um im Falle des Falles dann die falsche anzuwenden. Clevere Schüler kommen mit wenigen Formeln aus und wissen, wenn es darauf ankommt, wie sie aus diesen Formeln das zusammenbauen können, was sie zur Lösung der Aufgabe gerade brauchen.

02.06.2004, 18:28

Mathespezialschüler

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Aber ehrlich gesagt, ich merk mir auch immer die ganzen Formeln (wenn sie nicht zu schwer ist). Bei mir is es so, dass wenn wir ne Formel herleiten oder auch nur bekommen, die sofort in meinem Kopf drinbleibt, da muss ich nich lange lernen (im Grunde ein paar Sekunden) *g*.
Außerdem gibts ja auch noch Formelsammlungen und wenn man sie mal hergeleitet hat, dann reicht das ja. Wir dürfen sogar die Formelsammlungen benutzen bei Arbeiten, was ich bei manchen Themen gerecht, bei anderen sinnlos finde. Wozu beschäftigt man sich z.B. mehrere Wochen bzw. Monate lang mit Potenzgesetzen, damit die Schüler dann in der Arbeit nichts als ablesen brauchen. :P

02.06.2004, 18:43

Leopold

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Natürlich ist es kein Schaden, wenn man viele Formeln kennt. Dann geht es oft schneller. Aber überlege einmal, wieviel Flächenformeln für besondere Vierecke man aufstellen könnte (Drachen, Raute, Parallelogramm, Trapez). Alles überflüssig. Man braucht nur die Flächenformel fürs Dreieck.

02.06.2004, 18:52

Mathespezialschüler

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Ja, bei sowas is klar, aber wenns um die Standardformel für nen Stumpf geht, bin ich hartnäckig! Augenzwinkern

02.06.2004, 18:53

Leopold

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Ich finde die Herleitung für die Stumpf-Formel auch schön. Die Stumpf-Formel habe ich aber noch nie in meinem ganzen Mathematiker-Leben wirklich gebraucht.

02.06.2004, 19:05

Mathespezialschüler

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Wie meinst das denn?? Arbeitest du denn überhaupt mathematisch praktisch??

02.06.2004, 21:16

m00xi

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Unser Mathe-Lehrer predigt uns das immer, dass er sich das auch immer herleitet und nich groß auswendig lernt. Und da ich meinen MAthelehrer toll find, mach ich das auch so smile

02.06.2004, 21:29

Mathespezialschüler

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Das mach ich im Grunde auch so, wenn ich ne Formel nich weiß, aber das kommt halt relativ selten vor, da ich mir die Formeln in Sekundenschnelle merke. Aber z.B. bei sowas wie Ableitungsrgeln da wirds schwierig. Leite dir mal jedesmal neu (oder überhaupt mal) die Produktregel her oder Ähnliches. Dann wirds stressig. Und wenn du dann Formeln hast, für die du mind. 30 min zum Herleiten brauchst, was ja später noch kommt, dann viel Spaß

02.06.2004, 21:32

m00xi

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Nein nein, natürlich die Ableitungsregeln nicht, die kann ich auch im Schlaf ( sollte ich zumindestens :P :P ), aber Regeln, die, wie Leopold schon sagt, nicht so oft gebraucht werden, zumal ich Geometrie partout nicht ausstehen kann, die merke ich mir absolut nicht.

02.06.2004, 21:38

Mathespezialschüler

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Aber wenn dus nicht ausstehen kannst, dann kannst es ja vielleicht wiederum nicht herleiten oder hast kein Bock dazu Big Laugh

Und Geometrie is absolut geil! Das wird ziemlich interessant. Mit Trigonometrie kann man z.B. 4 verschiedene Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks herleiten! Und da gibts noch vieles mehr. Ich hab auch schon ein paar absolut geile Aufgaben zu Pythagoras gesehen. Also ich meine, da gibts doch relativ viele extravagante Formeln, die auch nicht allzu einfach herzuleiten sind.

02.06.2004, 21:40

m00xi

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Ich kann mit Geometrie einfach nichts anfangen, zwar kann ich das, was wir im Unterricht machen, aber es reizt mich überhaupt nicht. Mich reizen Dinge wie Kombinatorik, Zahlentheorie ( gut, letzteres kann ich noch nich, aber tut ja nix zur Sache :P ), und allgemein Diskrete Mathematik. Sonst einfach neue Sachen lernen, hauptsache die Zeichen dafür sehen schön und kompliziert aus :-) Aber bitte keine Geometrie, da krieg ich Krämpfe smile

02.06.2004, 21:58

Leopold

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Dann empfehle ich unserem m00xi einmal die diskrete Geometrie.

02.06.2004, 21:59

m00xi

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Sowas gibt's?

02.06.2004, 21:59

Mathespezialschüler

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Ja, Kombinatorik finde ich auch sehr gut. Du hast auf deiner Internetseite doch zur Zahlentheorie di übung vom Bundeswettbewerb. Das letzte mit dem Rest und dann das raten für n²+n+1 und n²-n+1 is schon ziemlich kompliziert. Zahlentheorie interessiert mich ja eigentlich nich so (is ja streng genommen keine Mathematik, sondern halt Numerik), aber sowas is doch schön, zumal ich Linearfaktorenzerlegung sehr toll finde *g*. Kannst du vielleicht nochmal die Studentin fragen, wie sie darauf kommt

$\begin{align*} n^4\ +\ n^2\ +\ 1 \end{align*}$

in

$\begin{align*} (n^2\ +\ n\ +\ 1)(n^2\ -\ n\ +\ 1) \end{align*}$

zu zerlegen.

PS. Ich hab grad so ein Problem, was ich oefter habe. Bei meiner Tastatur is das y auf der z-Taste und andersrum und die ganzen Zeichen wie ()_?>/}|] usw. sind auf einmal auf anderen Tasten. Was habe ich denn gedrueckt und wie geht das wieder weg? Meine ae oe und ue gehen auch nicht mehr, wie du siehst. traurig

02.06.2004, 22:01

Leopold

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@ m00xi

Na klar. Frag einmal Professor Beutelspacher, den Gründer des Mathematicums in Gießen.

02.06.2004, 22:01

m00xi

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Klar. Unter Windows musst du irgendwo in die Systemsteuerund auf tastatur und dann die englsiche Tasdtatur löschen, dann bist du das Problem los. Oder wechsel gleich zu FreeBSD :-P

02.06.2004, 22:15

Leopold

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@ Mathespezialschüler

Erinnerst du dich an die Formel a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²) im andern Thread? Jetzt setze speziel a=x² und b=1. Dann lautet sie

$\begin{align*} x^6-1 \ = (x^2-1)(x^4+x^2+1) \end{align*}$

Und links kannst du jetzt die binomische Formel anwenden:

$\begin{align*} (*) \ \ \ (x^3-1)(x^3+1) \ = (x^2-1)(x^4+x^2+1) \end{align*}$

Und wenn du ganz oben a=x, b=1 (bzw. a=x, b=-1) setzt, bekommst du

$\begin{align*} x^3-1 \ = \ (x-1)(x^2+x+1) \ \ , \ \ x^3+1 \ = \ (x+1)(x^2-x+1) \end{align*}$

Das setzt du jetzt in (*) ein, und den Rest überlasse ich dir.

Wie die Studentin auf die Formel gekommen ist, weiß ich nicht. Ich hätte es jedenfalls so gemacht.

02.06.2004, 22:17

Mathespezialschüler

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Cool Danke!

02.06.2004, 22:17

m00xi

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SirJective hat mir gesagt, dass er dafür keine Regel kennt, sondern das einfach probieren war.

02.06.2004, 22:40

Leopold

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Es gibt einen Satz, den sogenannten Fundamentalsatz der Algebra, der - für die reellen Zahlen ausgesprochen - heißt:

Jedes reelle Polynom kann als Produkt linearer und quadratischer reeller Polynome geschrieben werden.

Jetzt ist das Polynom p(x) = x^4+x²+1 vom Grad 4, hat aber, wie man sofort sieht, keine Nullstellen (denn x^4 und x² sind >=0). Also kann man keinen Linearfaktor abspalten. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra muß p(x) also in zwei quadratische Polynome zerlegbar sein. Das heißt nun aber nicht, daß es einfach ist, diese Polynome zu bestimmen. Aber hier kann man mit ein bißchen probieren und herumspielen vielleicht auch auf die richtige Lösung kommen. Ich würde z.B. den Ansatz x^4+x²+1 = (x²+px+1)(x²+qx+1) probieren, die rechte Seite ausmultiplizieren und mit der linken Seite einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Und wenn du noch Zeit hast, kannst du mit demselben Trick einmal versuchen, das Polynom x^4+1 zu zerlegen. Es geht!!

02.06.2004, 22:42

m00xi

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Ja schon, aber ein wenig Probieren ist immer dabei, und das find ich irgendwie nicht so schön, vor allem, wenn die Koeffizienten nicht ganzzahlig sind.

02.06.2004, 22:47

Leopold

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Ich würde einmal etwas unvorsichtig behaupten:
Alle bedeutenden mathematischen Erkenntnisse wurden durch Probieren und Intuition gefunden.

02.06.2004, 22:48

m00xi

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Trotzdem mag ich es nicht zu wissen, dass es kein sicheres Verfahren gibt, eine Aufgabe stur zu lösen :P

02.06.2004, 22:56

SirJective

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@m00xi:
Gerade der Umstand, dass man nicht alles stur berechnen kann, ist eine der Grundlagen, die Mathematikern ihr täglich Brot sichert.

Wir haben die Zerlegung von n^6 - 1 so ähnlich gemacht, wie Leopold es gezeigt hat, erst in kubische Faktoren zerlegt und diese dann per Nullstelle faktorisiert. Aber da du schon die drei Linearfaktoren gefunden hattest, blieb dir ja nur das n^4+n^2+1 übrig, was zu zerlegen war.

Im übrigen ist diese Zerlegung von n^7 - n für die Aufgabe, bei der wir die Zerlegung angewandt haben (siehe dazu diesen Thread), gar nicht nötig, wenn man die Lösung "vom Himmel fallen lässt":
Berechne die Differenz (n^7 - n) - (n-3)*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3). Die ist durch 7 teilbar. Dann kannst du sofort dein Argument mit den sieben aufeinanderfolgenden Zahlen anwenden.

Gruss,
SirJective

02.06.2004, 23:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Leopold
@ Mathespezialschüler

Erinnerst du dich an die Formel a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²) im andern Thread? Jetzt setze speziel a=x² und b=1. Dann lautet sie

$\begin{align*} x^6-1 \ = (x^2-1)(x^4+x^2+1) \end{align*}$

Und links kannst du jetzt die binomische Formel anwenden:

$\begin{align*} (*) \ \ \ (x^3-1)(x^3+1) \ = (x^2-1)(x^4+x^2+1) \end{align*}$

Und wenn du ganz oben a=x, b=1 (bzw. a=x, b=-1) setzt, bekommst du

$\begin{align*} x^3-1 \ = \ (x-1)(x^2+x+1) \ \ , \ \ x^3+1 \ = \ (x+1)(x^2-x+1) \end{align*}$

Das setzt du jetzt in (*) ein, und den Rest überlasse ich dir.

Wie die Studentin auf die Formel gekommen ist, weiß ich nicht. Ich hätte es jedenfalls so gemacht.

Das finde ich übrigens sehr kompliziert. Ich frage mich, wer da von selbst drauf kommt. Aber schön ist es. Könnte man nicht komplexe Nullstellen feststellen und dann Linearfaktorenzerlegung??

Ich möcht jetzt mal das mit dem x^4+1 probieren:

Also, sowie oben:

$\begin{align*} (x^2+px+1)(x^2+qx+1) \end{align*}$

$\begin{align*} =x^4+qx^3+x^2+px^3+pqx^2+px+x^2+qx+1 \end{align*}$

$\begin{align*} x^4+x^3(q+p)+x^2(2+pq)+x(p+q)+1=x^4+1 \end{align*}$

also

$\begin{align*} x^3(q+p)=0 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2(2+pq)=0 \end{align*}$

$\begin{align*} x(p+q)=0 \end{align*}$

also

$\begin{align*} p+q=0 \end{align*}$

$\begin{align*} p=-q \end{align*}$

und

$\begin{align*} 2+pq=0 \end{align*}$

$\begin{align*} 2=-pq \end{align*}$

$\begin{align*} 2=-(-q)q=q^2 \end{align*}$

$\begin{align*} q=\sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} p=-\sqrt{2} \end{align*}$

also gilt:

$\begin{align*} x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1) \end{align*}$

cool, das klappt ja sogar. smile

Zitat:

Original von SirJective

Berechne die Differenz (n^7 - n) - (n-3)*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3). Die ist durch 7 teilbar. Dann kannst du sofort dein Argument mit den sieben aufeinanderfolgenden Zahlen anwenden.

Die Differenz is bei mir

$\begin{align*} n(14n^4-49n^2+35)=n(n-\sqrt{2,5})(n+\sqrt{2,5})(n-1)(n+1) \end{align*}$

Kann sein, dass ich mich verrechnet habe, aber das muss doch nicht durch 7 teilbar sein oder?

03.06.2004, 09:02

johko

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Jetzt wird es eher was für PNs - aber ich schiebs wenigstens mal nach SONSTIGES

03.06.2004, 12:28

Irrlicht

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@MSS
"Die Studentin" hat es genauso gemacht wir du. *kicher* Und warum mache ich das so? Weil ich Uebung darin hab und mit Uebung geht das sicherlich viel schneller als es jetzt erstmal den Anschein hat.

Wenn man viel uebt, dann bekommt man ein Gespuer fuer den richtigen Weg, der zum Ziel fuehrt. Und diese Bundeswettbewerbsaufgaben oder Olympiadenaufgaben sind allesamt so gestaltet, dass man mit viel Uebung und Erfahrung sammeln muss und langsam lernen muss, den richtigen Weg einschaetzen zu koennen.

03.06.2004, 12:51

SirJective

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Könnte man nicht komplexe Nullstellen feststellen und dann Linearfaktorenzerlegung??

Wenn du die komplexen Nullstellen findest (was du auch erstmal schaffen musst, die haben ein sqrt(-3) drin), kannst du natuerlich auch direkt die Linearfaktorzerlegung machen.

Zitat:

Ich möcht jetzt mal das mit dem x^4+1 probieren:
...

Bis auf einen kleinen Schreibfehler im Ergebnis ist das richtig (hast das x vergessen).

Zitat:

Original von SirJective
Berechne die Differenz (n^7 - n) - (n-3)*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3). Die ist durch 7 teilbar. Dann kannst du sofort dein Argument mit den sieben aufeinanderfolgenden Zahlen anwenden.

Die Differenz is bei mir

$\begin{align*} n(14n^4-9n^2+35)=n(n-\sqrt{2,5})(n+\sqrt{2,5})(n-1)(n+1) \end{align*}$

Kann sein, dass ich mich verrechnet habe, aber das muss doch nicht durch 7 teilbar sein oder?

Hast dich leider verrechnet. Nur der Koeffizient von n^2 stimmt bei dir nicht.

Gruss,
SirJective

03.06.2004, 12:54

m00xi

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@MSS&Leopold:
Wow, schöne Rechnung da von dir, klappt ja klasse. Was mir allerdings noch nicht so klar wurde ist das Ausgangsprodukt. Ist das immer der Form $\begin{align*} (x^y+px+1)^2 \end{align*}$ ? Wie man dann rechnet leuchtet mir ein, jedoch bin ich mir noch nicht so über den "Start" im Klaren.
Danke schonmal!

03.06.2004, 13:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Irrlicht

Wenn man viel uebt, dann bekommt man ein Gespuer fuer den richtigen Weg, der zum Ziel fuehrt. Und diese Bundeswettbewerbsaufgaben oder Olympiadenaufgaben sind allesamt so gestaltet, dass man mit viel Uebung und Erfahrung sammeln muss und langsam lernen muss, den richtigen Weg einschaetzen zu koennen.

Das habe ich auch letztens gemerkt, als ich zum ersten Mal einen solchen Wettbewerb mitgemacht habe. Aber eigentlich war mir schon vorher klar, dass man da sehr viel Routine braucht.
Vielleicht kannst dich ja noch erinnern an den Thread "Tag der Mathematik an der FU Berlin" (http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3351&sid=&hilight=tag+fu+berlin) und da war ja die erste Aufgabe das gleiche Prinzip wie die jetzt (mit Teiler beweisen und so). Im nachhinein waren die Lösungen verständlich und schienen so einfach, aber wenn irgendwann mal wieder ne ähnliche Aufgabe kommt, die nicht nach diesem System arbeitet aber halt Zahlentheorie, dann wüsste ich wahrscheinlich auch nicht, wie ich das mache. traurig

Aber ich hoffe die Routine kommt noch.

Zitat:

Original von SirJective

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Könnte man nicht komplexe Nullstellen feststellen und dann Linearfaktorenzerlegung??

Wenn du die komplexen Nullstellen findest (was du auch erstmal schaffen musst, die haben ein sqrt(-3) drin), kannst du natuerlich auch direkt die Linearfaktorzerlegung machen.

Ich wollt ja nur wissen, ob das geht. Ich find die sowieso nich, da ich noch sogut wie nichts von komplexen Zahlen weiß, halt nur, dass man aus negativen Zahlen da irgendwie ne Wurzel ziehen kann. Aber wenn ich jetzt ne komplexe Nullstelle bestimme, dann habe ich ja auch einen komplexen Summanden im Linearfaktor, bei uns sind die aber letztendlich reell verwirrt

??

Das x habe ich noch mit reineditiert, danke für den Hinweis!

@m00xi
Ich hab das nur so gemacht, weil Leopold gesagt hat,das geht mit dem gleichen Trick. Allerdings kann ich mir nich vorstellen, dass das immer geht, muss man bestimmt auch andere ... obwohl, eigentlich hat er ja gesagt, man kann alles in lineare und quadratische Faktoren aufspalten, is ja auch ganz sinnvoll, insofern müsste das immer klappen. verwirrt

Dann is übrigens auch dein y sinnlos! Denn wir wollen es ja in quadratische bzw. lineare Faktoren aufspalten!

edit:
Hatte gestern ne 4 vergessen. Mein Ergebnis war:

$\begin{align*} n(14n^4-49n^2+35)=n(n-\sqrt{2,5})(n+\sqrt{2,5})(n-1)(n+1) \end{align*}$

Jetzt richtig?

03.06.2004, 13:30

m00xi

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@MSS: achso, stimmt. Ok, danke! Hab dir übrigens ne Mail geschrieben.

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