Verteilungsfunktion

20.11.2008, 22:22

vasi

Verteilungsfunktion

Hallo

Wiedermal eine Aufgabe zu rechnen:

Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable.
Berechnen Sie die Verteilung und die Dichte funktion von Y=u(müh)+v(sigma) und Z=X^2.

20.11.2008, 22:38

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Zitat:

Original von vasi
Berechnen Sie die Verteilung und die Dichte funktion von Y=u(müh)+v(sigma)

Was ist "u", was ist "müh", was ist "v", was ist "sigma" - sind das alles Konstanten, oder wie, oder was...

20.11.2008, 23:26

vasi

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Verteilungsfunktion
ja das sind konstante

u=müh ist eine konstante und sigma auch

hilft dir das N(müh,sigma^2)

20.11.2008, 23:40

vasi

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RE: Verteilungsfunktion
u(müh) aus den rellen zahlen
sigma>0

21.11.2008, 06:56

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Zitat:

Original von vasi
hilft dir das N(müh,sigma^2)

Mir muss hier gar nichts helfen - du willst die Aufgabe ja lösen. Augenzwinkern

Und dabei können wir dir nur helfen, wenn du die Aufgabe mal vollständig und unverstümmelt (!) aufschreibst.

21.11.2008, 08:40

vasi

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also verstümelt hab ich die aufgabe.....weil ich die seite überhaupt nicht verstehe!!!!

aber unvollständig ist sie nicht ....zumindest hab ich nur einen fehler gemacht!!!!

Sei X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable.
Berechnen Sie die Verteilung und die Dichte funktion von Y=u(müh)+v(sigma)*X und Z=X^2.

bis dene

21.11.2008, 11:26

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Keine Verstümmelungen? Von wegen: Erst

Zitat:

Original von vasi
Y=u(müh)+v(sigma)

und dann

Zitat:

Original von vasi
Y=u(müh)+v(sigma)*X

Muss ich noch mehr sagen? Ja, das muss ich:

Es ist immer noch nicht klar was $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist. Aber Ok, gehen wir davon aus, dass $\begin{eqnarray*} u(\mu) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(\sigma) \end{eqnarray*}$ irgendwelche Konstanten sind.

21.11.2008, 11:39

vasi

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ne so mein ich des net...sorry...aber ich weiß net wie man die formeln hier eingibt:

ich meine: Y= müh + sigma * X

und Z = X^2

hiervon die verteilungsfunktion und dichte!!!!

tut mir echt leid!!!!!! traurig

21.11.2008, 18:19

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Ok, zur Sache: Es geht entweder über Transformationsformeln für stetige Zufallsgrößen (die man dann allerdings kennen muss), oder direkt.

Ich wähle mal die zweite Variante, die erfordert nur absolut notwendiges Grundwissen zu stetigen Zufallsgrößen: Man versucht durch Ereignisumformungen die Verteilungsfunktionen von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auf die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zurückzuführen. Hat man dies geschafft, differenziert man anschließend diese erhaltenen Verteilungsfunktionen, um auch noch die Dichten zu erhalten.

Konkret:

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) &=& P(Y \leq t) = P(\mu + \sigma X \leq t) \stackrel{!}{=} P\left( X \leq \frac{t-\mu}{\sigma} \right)\\ &=& F_X\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) = \Phi\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

Die Umformung der Ereignisungleichung an der Stelle $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ klappt selbstverständlich nur für $\begin{eqnarray*} \sigma>0 \end{eqnarray*}$ , da gehe ich einfach mal davon aus, dass das auch noch gegeben ist. Mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bezeichne ich dabei wie in der Statistik üblich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Das zur Verteilungsfunktion, die Dichte jetzt als Ableitung nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , wobei die Kettenregel zu beachten ist.

$\begin{eqnarray*} f_Y(t) &=& \frac{\dd}{\dd t} F_Y(t) = \Phi'\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \cdot \frac{\dd}{\dd t}\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) = \varphi\left( \frac{t-\mu}{\sigma} \right) \cdot \frac{1}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Wie gehabt bezeichnet hier dann $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Dichte der Standardnormalverteilung - kannst du, wenn du willst, noch formelmäßig einsetzen.

--------------

Bei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ muss man eine Fallunterscheidung treffen: $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Letzterer Fall ist bei genauer Überlegung trivial, und im ersteren Fall $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ kann man so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} F_Z(t) &=& P(Z \leq t) = P(X^2 \leq t) = P(|X| \leq \sqrt{t}) = P(-\sqrt{t} \leq X \leq \sqrt{t}) \end{eqnarray*}$

Den Rest solltest du allein hinkriegen.

21.11.2008, 20:12

vasi

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verteilungsfunktion
hey...
vielen dank, auch wenn es ein bissle gedauert hatte mich zu verstehen!!!!

hatte sogar die verteilungsfunktion raus, aber das mit der dichte war komplett falsch!!!!

danke...bis auf ein neues Big Laugh

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