Euklidischer Vektorraum, Unterraum, orthogonales Komplement

20.11.2008, 22:43

Wintersun

Euklidischer Vektorraum, Unterraum, orthogonales Komplement

Hallo, hier sind zwei Teilaufgaben, bei denen ich etwas Probleme hab. Die eine hab ich eig. schon gelöst, aber es wäre vllt. ganz gut, wenn von euch nochmal einer drüber schaut, bei der anderen weiß ich nicht so recht, was überhaupt zu tun ist ...

a) Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Euklidischer Vektorraum mit dem inneren Produkt $\begin{eqnarray*} < \cdot , \cdot > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} M^* := \{ w \in V : <v,w> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in M \} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist.

b) Es sei $\begin{eqnarray*} V = R^3 \end{eqnarray*}$ mit dem Standart-Skalarprodukt. Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} M_j^* \end{eqnarray*}$ für die folgenden Fälle:

(i) $\begin{eqnarray*} M_1 = \{ (1,1,1)^T\} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} M_2 = \{(1,1,1)^T, (1,-1,1)^T,(1,2,3)^T\} \end{eqnarray*}$

zu a) Ja, was ist hier zu zeigen? Ich denke mal, die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation. Also:

Addition:

Seien $\begin{eqnarray*} w,z \in M^* \Rightarrow <v,w> = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <v,z> = 0 \Rightarrow <v,w> + <v,z> = 0 \Rightarrow <w,v> + <z,v> = 0 \Rightarrow <w + z,v> = 0 \end{eqnarray*}$

und

Multiplikation mit einem Skalar:

Es gilt $\begin{eqnarray*} <v,w> = 0 \end{eqnarray*}$ und auch, dass $\begin{eqnarray*} <w,v> = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot <w,v> = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <\lambda w, v> = 0 \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass ist alles, was hier zu zeigen war, also q.e.d.

zu b) Nun, ich denke, ich muss die Lineare Hülle von $\begin{eqnarray*} M_{1,2}^* \end{eqnarray*}$ finden? Aber wie mache ich das?

zu (ii): Ich würde vermuten, dass in $\begin{eqnarray*} M_2^* \end{eqnarray*}$ nur der Nullvektor enthalten sein kann, aber wie zeige ich das?

* steht für das Orthogonal-Zeichen, finde es in Tex nicht.

21.11.2008, 00:28

Reksilat

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RE: Euklidischer Vektorraum, Unterraum, orthogonales Komplement
$\begin{eqnarray*} a^\top \end{eqnarray*}$ : \top
$\begin{eqnarray*} a^\bot \end{eqnarray*}$ : \bot
Ich schaue für sowas gern hier

Zu a): Sieht gut aus! (Vielleicht noch: $\begin{eqnarray*} 0\in M^\bot \Rightarrow M^\bot\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ )

Zu b): Es ist egal, ob Du $\begin{eqnarray*} M_i^\bot \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} <M_i>^\bot \end{eqnarray*}$ suchst - ist genau das gleiche. (Wenn ein Vektor zu v und w orthogonal ist, so auch zu jeder beliebigen Linearkombination der beiden)

(ii): Wenn $\begin{eqnarray*} <M>=V \end{eqnarray*}$ ist, so bedeutet das, dass ein Vektor $\begin{eqnarray*} v\in M^\bot \end{eqnarray*}$ auf jedem Vektor aus V senkrecht steht und somit insbesondere auf sich selbst. Was bedeutet das dann für $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

(i): Ähnlich wie bei (ii) siehst Du, dass $\begin{eqnarray*} M_1^\bot\neq V \end{eqnarray*}$ ist. Die Dimension dieses Unterraums ist also maximal 2. Nun versuche mal ein paar Vektoren aus $\begin{eqnarray*} M_1^\bot \end{eqnarray*}$ zu finden

21.11.2008, 01:01

Wintersun

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RE: Euklidischer Vektorraum, Unterraum, orthogonales Komplement

Zitat:

Original von Reksilat
(ii): Wenn $\begin{eqnarray*} <M>=V \end{eqnarray*}$ ist, so bedeutet das, dass ein Vektor $\begin{eqnarray*} v\in M^\bot \end{eqnarray*}$ auf jedem Vektor aus V senkrecht steht und somit insbesondere auf sich selbst. Was bedeutet das dann für $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

Dies trifft nur auf den Nullvektor zu.

Zitat:

Original von Reksilat
(i): Ähnlich wie bei (ii) siehst Du, dass $\begin{eqnarray*} M_1^\bot\neq V \end{eqnarray*}$ ist. Die Dimension dieses Unterraums ist also maximal 2. Nun versuche mal ein paar Vektoren aus $\begin{eqnarray*} M_1^\bot \end{eqnarray*}$ zu finden

Einfach Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ die aufeinander senkrecht stehen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wären z.B. welche ...

21.11.2008, 01:03

Reksilat

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RE: Euklidischer Vektorraum, Unterraum, orthogonales Komplement

Zitat:

Einfach Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ die aufeinander senkrecht stehen?

Nein, Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die senkrecht auf $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ stehen.

21.11.2008, 01:07

Wintersun

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Okei, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wären welche ...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist auch noch einer, mehr dürfte es nicht geben ...

21.11.2008, 01:13

Reksilat

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Der dritte liegt ja im Erzeugnis der ersten beiden und wie Du oben zeigst, ist $\begin{eqnarray*} M_1^\bot \end{eqnarray*}$ ein Unterraum. Da er nicht die Dimension drei haben kann und Du zwei linear unabhängige Vektoren darin angeben kannst bist Du somit fertig.

21.11.2008, 01:18

Wintersun

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Zitat:

Original von Reksilat
Der dritte liegt ja im Erzeugnis der ersten beiden ...

Stimmt. Hätte mir durchaus mal auffallen können. :-/

Vielen Dank natürlich für die Hilfe!

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