Abbildungen, Beweise und die liebe Sprache

Neue Frage »

calyton Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen, Beweise und die liebe Sprache
Hi alle zusammen,


bin echt begeistert was ihr hier anbietet.

Mein Probleme sind die "Sprache der Mathematik" im allgemeinen und Abbildungen und Beweise im speziellen.

In der Vorlesung wird man dabei abgespeist, dass sei ja trivial und in den nächsten Vorlesungen antworten nur die CRACKS und antworten auf Fragen mit, das sei ja trivial......

Ich studiere Betriebswirtschaft, was mich hier in dem Forum bestimmt nicht beliebt machen wird smile trotzdem will ich unbedingt lineare Algebra mehr verstehen.

Trotzdem hoffe ihr könnt mir etwas helfen.



Folgende erste Aufgabe (weitere folgen ;P)

Für sei die Abbildung definiert durch





Das Problem für mich ist, warum die Zielmatrix "nach" der Abbildung eine R(4x4) Matrix ist und wie ich diese berechne und was die Idee dahinter ist.


Vielen Dank im Vorraus
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Aso:

Danach soll man dann die Dimension, Kern, Bild rausfinden.
Das ist okay, aber nur, wenn man mit der selben Matrix arbeitet....

Meine lautet:

Die ist falsch, aber wieso?


Die vorgegebene Lösung (ohne Lösungserklärung und Lösungsansatz) ist
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest vielleicht mal die genaue Aufgabenstellung posten, denn in Deiner wird ja gar nicht nach einer Matrix gefragt.

Die vorgegebene Lösung ergibt trotzdem Sinn, denn sie ist die Matrixdarstellung von f als linearer Abbildung(*): Stelle Dir als R-Vektorraum der Dimension 4 vor, d.h. Du hast eine Basis:
, mit





Was macht f nun auf den vier Basisvektoren? Man berechnet, dass ist, ebenso , ,
Bezüglich der Basis B hat f also gerade die angegebene Gestalt. Dass die Vektoren hier 2x2-Matrizen sind und keine vierdimensionalen Vektoren spielt letztlich keinen Unterschied.

Mit der Matrixdarstellung sollte es dann auch nicht mehr so schwer sein die Dimension von Kern und Bild zu berechnen.


(*): Dass f eine lineare Abbildung ist, sieht man ja recht leicht.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, erstmal danke für die schnelle Antwort.

----------

Hier mal die Aufgabenstellung:


a.) Zeigen Sie, dass f linear ist.

b.) Berechnen Sie die Dimension und eine Basis von Kern(f)

c.) Berechnen Sie die Dimension und eine Basis von Bild(f)


----------


Deinen Erläuterung entnehme ich, dass ich anscheinend gar nichts verstanden hab...

Was haben denn die Ergenisse mit zu tun.
Mir fehlt da komplett der logische Gedanke.

Was ist M ? Keine Matrix?

Was heißt XM?
Was heißt MX?

Welche Aussage hat das ganze ()?

Was heißt "Was macht f nun auf den vier Basisvektoren"? oder heißt es "..aus..." statt "...auf...."?

und zu guter Letzt:
"Bezüglich der Basis B hat f also gerade die angegebene Gestalt. Dass die Vektoren hier 2x2-Matrizen sind und keine vierdimensionalen Vektoren spielt letztlich keinen Unterschied."

- Das sind leider die Antworten, die ich nicht verstehe und auf die ich immer nur die Antworten bekomme: "Sieht man doch" " DAS IST TRIVIAL" unglücklich ( (siehe Thread Thema (....die liebe Sprache...)


Denn ich kann nicht nachvollziehen, wie du die Einheitsbasen umwandelst.
Ich kann Aufgabenteil a.) lösen und weiß was ich mache / ich kann b.) und c.) lösen, wenn jedoch aber die anfangsmatrix schon falsch ist, bekomm ich null punkte...

--------------

Danke aber für deine Antwort, konnte man ja nicht ahnen, dass ich nun noch ratloser da stehe
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habs grad rechnerisch raus.....da stand ich ganz schön auf dem schlauch.


dann mal jetzt anders:


Wie kommt man darauf, dass man für X die Einheitsmatritzen des R(2x2) nimmt?
(Wenn man da den Ansatz nicht hat, hat man es direkt vergeigt)

Was heißt der eben gefragte Satz.


Kannst du mein Problem allgemein verstehen und mir ein paar Tipps (von dir, oder Literatur) geben?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was heißt der eben gefragte Satz.

verwirrt

Zitat:

Wie kommt man darauf, dass man für X die Einheitsmatritzen des R(2x2) nimmt?
(Wenn man da den Ansatz nicht hat, hat man es direkt vergeigt)

Du betrachtest ja eine Lineare Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst (). Wenn Du eine Matrixdarstellung finden willst, so benötigt man für diese immer(!) eine Basis. Gemeinhin nimmt man im dann die Standardbasis, aber es geht auch jede andere Basis, die Matrixdarstellung sieht dann eben entsprechend anders aus. In diesem speziellen Fall ist nunmal die von mir angegebene Basis in meinen Augen naheliegend gewesen, es geht auch jede andere, es ist nur wichtig, dass Du für eine Matrixdarstellung zuerst eine Basis benötigst.

Als Lösungshilfe einfach ohne Kommentar eine Matrix anzugeben halte ich für falsch, da diese weder die einzig richtige Lösung darstellt (z.B. wenn ich eine andere Basis für wähle) noch für die Lösung notwendigerweise benötigt wird. Ansonsten weiß ich nicht, was von den obigen Fragen noch aktuell ist.

Zu den allgemeinen Problemen: Literatur zur Linearen Algebra gibt es mehr als genug, schau Dich einfach in Deiner Bibliothek um und frage vor allem Kommilitonen und Dozenten. Dann gibt es natürlich auch hier im Board einen Bereich, der sich mit Lehrbüchern beschäftigt, schau doch z.B. mal dorthin: klick

Außerdem gibt es hier Workshops:
Tigerbine hat sich z.B. mit Basistransformationen befasst: klick

Schau Dir auch ruhig ein paar weitere Artikel hier im Forum an, die aufgetauchten Fragen und die Lösungswege können auch für Dich hilfreich sein.

Edit: Fragen á la "Wie komme ich denn überhaupt auf diesen Ansatz" tauchen am Anfang eines Studiums bei den meisten auf, es ist eben eine Erfahrungssache und auch Du wirst Dir in ein paar Monaten diese Aufgabe anschauen und sie, ohne mit der Wimper zu zucken, lösen können. Natürlich vorausgesetzt, dass Du weiter am Ball bleibst.
 
 
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Zitat: Was heißt der eben gefragte Satz.
verwirrt


Zurecht Hammer

Um diese Frage klar rüber zubringen, hätte ich sie in meiner "geliebten" mathematische Sprache verfassen müssen. Da ich das aber nicht beherrsche, erlebte ich ein Lehrstück smile

Ich meinte DIESE Frage:

"Bezüglich der Basis B hat f also gerade die angegebene Gestalt. Dass die Vektoren hier 2x2-Matrizen sind und keine vierdimensionalen Vektoren spielt letztlich keinen Unterschied."


Davon bleibt noch eine Frage übrig:

Wann weiß ich denn, dass ich einen Vektor als Matrix schreiben kann und wann nicht?

Hat das was mit dem Wort LINEAR zu tun?




Aber danke für deine Ausführlichen Erklärungen und Links und die Hoffnung, die du mir gibst.

Hast meinen Tag gerettet!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Bezüglich der Basis B hat f also gerade die angegebene Gestalt. Dass die Vektoren hier 2x2-Matrizen sind und keine vierdimensionalen Vektoren spielt letztlich keinen Unterschied."
Davon bleibt noch eine Frage übrig:
Wann weiß ich denn, dass ich einen Vektor als Matrix schreiben kann und wann nicht?

Wie Du einen Vektor aufschreibst, ist letztlich egal. Es können
und und und und
im Prinzip die gleichen Vektoren sein, da von der Struktur her alle 4-dimensionalen Vektorräume über R gleich sind. Natürlich ist das dann irreführend und so wählt man im allgemeinen die Spaltenschreibweise für Vektoren.

In der Aufgabe besteht nun das Problem, dass man die Menge aller 2x2-Matrizen als Vektorraum verstehen muss. (Das ist für Anfänger vielleicht die größte Hürde bei diesem Problem.) Wenn man ein wenig darüber nachdenkt, sieht man aber, dass es auch hier eine Addition und Skalarmultiplikation gibt und dass man ebensogut eine Basis finden kann. Erst so findet man heraus, dass dieser Vektorraum gleichbedeutend mit dem ist und man lineare Abbildungen als 4x4-Matrizen schreiben kann.


Fazit: Vektoren schreibt man als Vektoren, Matrizen als Matrizen, denn sonst kommt man durcheinander!
Sieht man die Menge der Matrizen als Vektorraum, so nennt man die Matrizen darin eben "Vektoren" (Ein Vektorraum besteht nunmal aus "Vektoren"). Man schreibt sie aber trotzdem weiter als nxm-Matrix, da sie ja weiterhin für lineare Abbildungen stehen.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
In der Aufgabe besteht nun das Problem, dass man die Menge aller 2x2-Matrizen als Vektorraum verstehen muss. (Das ist für Anfänger vielleicht die größte Hürde bei diesem Problem.)



Danke, ihr hattet mir damals sehr geholfen.

Zu erst auch noch ein frohes neues Jahr!


Jetzt sitzt ich an Klausuraufgaben, vorallem an einer, die wieder NICHT in der Übung durchgesprochen wurde, ich aber erfahren habe, dass sie in der Klausur abgefragt wird.
Und ich komme da einfach nicht auf den Ansatz.

Es geht um lineare Abbildung und Eigenwerte, weswegen ich mich immer noch im tichtige Thread befinde, so hoffe ich smile


Hier die Aufgabe:

" Seien zwei verschiedene Eigenwerte der linearen Abbildung mit den zugehörigen Eigenvektoren und .
Zeigen Sie, dass und linear unabhängig sind."


Mein Anfangsproblem ist schon, dass ich zwar Eigenwerte ausrechnen kann, aber anscheinend die Logik dahinter noch nicht so inne hab, weswegen ich Eigenvektor und linear unabhängig gar nicht zusammen bekomme unglücklich




Ich freu mich auf eure Antworten
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu erst auch noch ein frohes neues Jahr!

Danke, Dir auch.

Bei der Aufgabe ist der Ansatz eigentlich gar nicht so schwer. Zuerst musst Du Dir eigentlich nur überlegen, was es bedeutet, dass und Eigenwerte von mit den Eigenvektoren und sind. Das lässt sich in Formeln aufschreiben.
Dann nimmt man an, dass und linear abhängig sind (das wollen wir dann zum Widerspruch führen). Wie lässt sich das aufschreiben?
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Zuerst musst Du Dir eigentlich nur überlegen, was es bedeutet...


Hm, es hat irgendwas mit Diagonalisieren zu tun smile
Genau kann ich es nicht verbalisieren.

Ich weiß , dass die Formel mit angibt, dass den Eigenwert und den Eigenvektor angibt.

Was das aber ausagt, kann ich nicht sagen, da mir da die vorstellungskraft fehlt.
Mir ist klar, wie ich die Eigenwerte berechnen, nämlich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Aber wieso sich das aus bildet versteh ich nicht.
Klar, die Einheitsbasis muss nicht 3x3 sein, klar, dass davon noch die Ausgangsmatrix subtrahiert werden muss und die det gebildet werden muss; klar auch, dass das irgendwas mit der diagonalisierung zu tun hat, aber weiter versteh ich den Schritt nicht.


Wenn ich dann noch dazu nehme, dass Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass bei U Vektorraum und und
heißt,
folgere ich daraus:

------
Eigenwert def:




Lin. Abh.













und damit in Eigenwert def eingesetzt:



---------

NUR..... verwirrt Was fang ich dann denn damit an?

Ich hab es schon nachgerechnet in ein paar Aufgaben mit Zahlenbeispielen. Die Eigenvektoren sind nie l.a. ....nur wie beweis ich das?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

leer.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hm, es hat irgendwas mit Diagonalisieren zu tun

Nein, mit Diagonalisierung hat das nichts zu tun, da wir keinen bestimmten Körper gegeben haben, ist dies ja auch nicht unbedingt möglich.

Zitat:
Original von calyton
Eigenwert def:




Lin. Abh.









Soweit Ok. Das am Ende ist aber keine Aussage und ergibt insofern keinen Sinn.
Es ist:

Anmerkung: Brüche verwendet man bei beliebigen Körpern nicht, Vektoren schreibt man ganz rechts, die Skalare links davor. Außerdem ist hier notwendig, dass gilt, aber da gilt, ist einer dieser Werte immer ungleich Null und wir können oBdA annehmen, dass das ist.

Zitat:

und damit in Eigenwert def eingesetzt:


OK,


Andererseits kann man ja für schon vorher die obige Gleichung (*) einsetzen und erst dann f auswerten:

Verwende hier, dass auch ein Eigenvektor ist.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Nein, mit Diagonalisierung hat das nichts zu tun, da wir keinen bestimmten Körper gegeben haben, ist dies ja auch nicht unbedingt möglich.


Hm, leuchtet mir einbischen ein, trotzdem weiß ich jetzt immer noch nicht was der Eigenwert aussagt und warum es dann so funktioniert ihn SO und nicht anders auszurechnen!

Mein Orthogonalisierungsverfahren hatte mir das sehr gut geholfen, dass ich dir Funktionsweise verstanden hatt.

Vielleicht kannst du mir da ja nochnen Tipp geben.

Zitat:
Original von Reksilat
Anmerkung: Brüche verwendet man bei beliebigen Körpern nicht, Vektoren schreibt man ganz rechts, die Skalare links davor. Außerdem ist hier notwendig, dass gilt, aber da gilt, ist einer dieser Werte immer ungleich Null und wir können oBdA annehmen, dass das ist.


Das wusste ich nicht!
Kommt nicht wieder vor smile


Zitat:
Original von Reksilat
Andererseits kann man ja für schon vorher die obige Gleichung (*) einsetzen und erst dann f auswerten:

Verwende hier, dass auch ein Eigenvektor ist.



Das passiert mir öfters, dass ich einfach nur die "rechte" Seite der Gleichung betrachte, aber gar nicht daran, dass ich die "linke" Seite auch "benutzen" darf.

Nur wie meinst du das, dass auch wieder ein Eigenvektor ist.?

Etwa so:






Was mach ich dann aber?

Mir fiele nur noch ein


Nur macht das Sinn?
Wo will ich hin?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den Eigenwerten:
Letztlich sind die Eigenwerte geometrisch gar nicht so gut zu veranschaulichen, sondern eher die zugehörigen Eigenvektoren, denn dies sind die Vektoren, die von in ihrer Richtung festgelassen werden, also nur um den zugehörigen Eigenwert gestreckt werden.
Hat ein Eigenvektor v eine bestimmte Richtung, so ist ist auch 2v, 3v usw. ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert und deshalb spricht man auch vom Eigenraum, der dann als Information letztlich nur eine Richtung, aber keine Länge mehr beinhaltet. Das soll bedeuten, dass alle Vektoren mit gleicher Richtung auch nur den gleichen Eigenwert haben können. Im Beispiel haben und verschiedene Eigenwerte, können also auch nur in unterschiedliche Richtungen zeigen und sind insofern nicht linear abhängig.

Zum formalen Beweis:
Zitat:
Original von calyton


Das ist falsch! Es ist immer wichtig, sich zu verdeutlichen, wofür die einzelnen Variablen stehen. Hier sind und Körperelemente, der Ausdruck ist also gar nicht sinnvoll, da nur auf Vektoren definiert ist. Nutze zuerst die Linearität von aus.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung!

Ein Eigenvektor gibt also Informationen für die Richtung an, versteh ich das richtig?

Welchen Nutze hat denn dies für die gewünschte Diagonalisierung?



Zitat:
Original von Reksilat
Zum formalen Beweis:
Zitat:
Original von calyton


Das ist falsch! Es ist immer wichtig, sich zu verdeutlichen, wofür die einzelnen Variablen stehen. Hier sind und Körperelemente, der Ausdruck ist also gar nicht sinnvoll, da nur auf Vektoren definiert ist. Nutze zuerst die Linearität von aus.



Aso. Leuchtet mir jetzt ein.

Also so:


Hieße das bei linearer Abhängigkeit, dass ein vielfaches von sein könnte, da

Und das wegen der Vorschrift, dass es zwei verschiedene Eigenwerte mit dazugehörigen (verschiedenen) Eigenvektoren sein müssen, bedeute dann, dass das nicht möglich ist.

Oder ist das wieder falsch gedacht?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein Eigenvektor hat eine Richtung und eine Länge, wie jeder andere Vektor auch. Durch Anwendung von auf diesen Vektor verändert sich nun seine Richtung nicht, sondern nur seine Länge und zwar genau um den zugehörigen Eigenwert.
Mit Diagonalisierung hat das noch nichts zu tun, da wir dazu ja benötigen, dass der Vektorraum eine Basis aus Eigenvektoren von besitzt. Das lässt sich in dieser Aufgabe nicht gewährleisten, ist auch gar nicht nötig, da es hier nicht um Diagonalisierung geht.

Zur Aufgabe:
Den Widerspruch werden wir ganz formal erzeugen, also nicht mit den oben von mir gegebenen Erklärungen, denn die sind nur zur Veranschaulichung da.

Wir wissen von weiter oben:


und außerdem:

Jetzt musst Du ausnutzen, dass eine Eigenvektor von ist und dann folgt der Widerspruch mit Hilfe der ersten Gleichung.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Aso, da hab ich dann hab ich beim "diagonalisieren"Thema alles bunt durcheinander gebracht...


Zur Aufgabe:


Also wir wissen:


und


zusammen:





Widerspruch zu Def. Eigenwert/vektor:



und Vorraussetzung:






Ist das jetzt richtig?
Und wär ich dann damit fertig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Freude

---------------
Zu:
Zitat:




wollte ich noch anmerken, dass hier wichtig ist. Aber das steht ja schon weiter oben bei der linearen Abhängigkeit von und . Ich wollte das nur noch mal erwähnen, denn ich hatte irgendwo geschrieben:
Zitat:
Original von Reksilat
Außerdem ist hier notwendig, dass gilt, aber da gilt, ist einer dieser Werte immer ungleich Null und wir können oBdA annehmen, dass das ist.

Und das ist Quatsch!
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme noch einmal Bezug auf die ERSTE Aufgabe aus diesem THREAD (entschuldigt die Unordnung, aber diese Frage brennt mir schon länger unter den Nägeln)

Zitat:
calyton
Für sei die Abbildung definiert durch



Für die Matrix hab ich folgenden Vorschlag:




damals hieß es, dass DAS richtig wäre:




dieser feine aber kleine Unterschied raubt mir jeden Schlaf smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi calyton,

Ehe Dir etwas den Schlaf raubt, frage doch lieber nochmal nach - immerhin können jedem mal Fehler passieren. (Vor allem Rechenfehler Augenzwinkern )



Du hast also recht und darfst heute ruhig schlafen, wärend ich mich bis tief in die Nacht voller Schuldgefühle herumwälzen muss.
Sorry Tränen

Gruß,
Reksilat.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Sei('s) gedankt smile


beruhigt schließen sich die Augen smile

gn8
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt von der Abbildung eine Basis des Bildes angeben muss, arbeite ich dann mit dieser Matrix:



Dann bekomm ich ja raus, dass ist. Was ist aber ??

Die Basis des Bildes hat ja dim=2 , da RG=2.


wie mach ich weiter?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Du musst Dir solche komischen Gleichungen abgewöhnen, ich habe keine Ahnung, was das sein soll.

bildet von nach ab. Für beides wählen wir eine Basis, bzw. haben wir ja auch schon längst, nämlich . Die Menge bildet jetzt ein Erzeugendensystem des Bildes, nur eben noch kein minimales. Jedenfalls lässt sich daraus eine Basis zurechtstutzen.

Gruß,
Reksilat.
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Matrix darstellung tut mir leid, ich weiß leider nicht, wie man mit LATEX den "Strich" darstellt:


( 0 0 -2 0 | b_1 )
( 2 2 0 -2 | b_2 )
( 0 0 -2 0 | b_3 )
( 0 0 2 0 | b_4 )

wie macht an mit Latex den "strich" ?

Dann bekomm ich ja raus, dass ist. Was ist aber

In Tigerbines Workshop wurde ja zur LH ermittlung des Bildes die Matrix vorher transformiert.

Nach deinen Aussagen wäre die basis
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

oder in der "ursprungsdarstellung"

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch immer keine Ahnung, was Deine sein sollen. verwirrt

Zitat:
Tigerbines Workshop:
Ginge es nur um ein Erzeugendensystem, so könnte man direkt die Spalten von M nehmen, sind dies doch die Bilder der Basisvektoren von V. Wie erhalten wir daraus aber eine Basis? ...

Nun, man kann es mit dem LGS berechnen, aber da wir Mathe online verstehen und nicht nur berechnen wollen, bringt uns das nichts, da Du ja erstmal nachvollziehen musst, was das Bild eigentlich ist. Außerdem wäre das hier zu aufwendig.

Die Funktionswerte der einzelnen Basisvektoren hast Du doch bereits berechnet, es ist u.s.w. das Bild wird also (wie ich oben bereits geschrieben habe!) von folgender Menge aufgespannt:

In Vektordarstellung wären dies genau die Spalten Deiner Matrix, so hast Du ja schließlich auch die Matrix erhalten.

Die Frage ist nun, welche linearen Abhängigkeiten es in der obigen Menge gibt, bzw. welche Vektoren man weglassen kann.

Gruß,
Reksilat.

PS:

code:
1:
[latex]\begin{pmatrix}1&2&\vline &5\\2&1&\vline &7\end{pmatrix}[/latex]
calyton Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre die Basis schlicht:



?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! (Die 2 könnte man aus ästhetischen Gründen noch streichen.) Aber ein Problem ist das doch echt nicht, oder?

Du musst halt nur aus den Zeilen der Matrix eine maximal linear unabhängige Menge heraussuchen - hier war das nunmal offensichtlich und der Umweg über die Transponierte und Gauß insofern überflüssig.

Gruß,
Reksilat.
Kirstieblazer Auf diesen Beitrag antworten »
hello
hi
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »