komplexe Zahlen C

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21.11.2008, 13:23	kim	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen C Hallo! Ich soll zeigen dass für alle c Element C, $\begin{eqnarray} z^2=c \end{eqnarray}$ nur höchstens 2 Lösungen in C hat. $\begin{eqnarray} z^2= c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2= zz z= x+iy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2=(x+iy)(x+iy)=x^2-y^2+i(2xy) \end{eqnarray}$ eine Lösung $\begin{eqnarray} z^2=c \Rightarrow \ \text{mit} \ c= x+iy, Z=\sqrt[2]{c} \Rightarrow z=\sqrt[2]{x+iy} \end{eqnarray}$ zweite Lösung Stimmen die 2 Lösungen? Und wie zeige ich dass es auch nur diese zwei gibt? Mein Professor gab uns den Tipp es mit z1^2-z2^2= zu probieren, versteh ich aber nicht? Kann mir bitte jm. helfen? Und in der 2. Teilaufgabe sollen wir eine Gleichung lösen: $\begin{eqnarray} z^2=i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+iy)^2=i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-y^2=i-2ixy \end{eqnarray*}$ ab dann komm ich nicht mehr weiter, hat jm. einen Tipp? Vielen Dank schon mal! Edit (mY+): Du musst die Terme schon noch in LaTex-Klammern setzen!
21.11.2008, 13:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Das sind doch noch keine Lösungen, sondern nur umgeschriebene Terme für $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ bzw. die Wurzel. Es ist jedoch explizit $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ zu ermitteln. Mittels Koeffizientenvergleich (Real-, Imaginärteil) sind nun x und y zu berechnen. Es ergibt sich ein System von zwei Gleichungen in x, y. Beachte, dass x,y selbst reell sein müssen. Es ergeben sich dann zwei Lösungen. 2. Da gehst du analog vor! Löse daher $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2xy = 1 \end{eqnarray}$ ------------------------------------ EDIT: Schreibfehler (-) korrigiert Habt ihr im Unterricht auch die Exponentialschreibweise oder die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl kennengelernt? Damit geht es noch leichter. mY+
21.11.2008, 14:21	kim	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Zahlen C Danke fürs umschreiben, hab das erst nicht hinbekommen. 1. $\begin{eqnarray} x^2-y^2+i(2xy)=x+iy \end{eqnarray}$ dafür müsste ich doch 2 Lösungen rausbekommen? $\begin{eqnarray} x^2-y^2=x-i(2xy)+iy \end{eqnarray}$ dann komm ich nicht mehr weiter bzw. $\begin{eqnarray} x+iy=\sqrt[2]{x+iy} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+iy= \sqrt[2]{x+iy} (\sqrt[2]{x+iy}/ \sqrt[2]{x+iy}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{x+iy}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+iy=1 \end{eqnarray}$ ? Ich versteh nicht richtig wie ich die Koeffizenten vergleichen soll? 2. Warum $\begin{eqnarray} -2xy=1 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} x^2-y^2=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt x=y $\begin{eqnarray} -2xy=1 \end{eqnarray}$ daraus folgt x=-1/2y oder für x=y in Gleichung x,y= $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{-0,5} \end{eqnarray*}$ ? Mit sin und cos? Nein haben wir noch nicht kennen gelernt.
21.11.2008, 15:49	kim	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Zahlen C Hallo ihr Lieben! Kann mir bitte jm. helfen?
21.11.2008, 16:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich habe mich verschrieben, natürlich muss $\begin{eqnarray} 2xy = +1 \end{eqnarray}$ sein. Dann würde $\begin{eqnarray} \sqrt{0,5} \end{eqnarray}$ schon mal stimmen. Aus der anderen Gleichung folgt aber: $\begin{eqnarray} x_1 = y_1 \ \text{ODER} \ x_1= -y_1 \end{eqnarray}$ , also zwei Fälle. Wenn zwei komplexe Zahlen gleich sein sollen, müssen sie in ihrem Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Daher setzt du diese jeweils gleich und gewinnst damit zwei Gleichungen, wie ich sie dir oben bei 2) schon gezeigt habe. Das ist analog bei 1) auch so zu tun. Du musst die komplexe Zahl als $\begin{eqnarray} c = a + bi \end{eqnarray}$ ansetzen und wieder nach x, y auflösen. mY+
21.11.2008, 18:42	kim	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ok hab das alles verstanden, vielen vielen Dank und habe dann nur noch ein Problem: wenn ich die Gleichungen auflöse bzw. versuche, erhalte ich: 1.für x= $\begin{eqnarray} \sqrt{a+y^2} \end{eqnarray}$ und y= $\begin{eqnarray} \sqrt{-a+x^2} \end{eqnarray}$ 2. x=b/2y und y=b/2x setze ich dann 1. in 2. erhalte ich: 4y^2a+4y^4=b^2 wie kann ich das weiter nach y auflösen
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21.11.2008, 18:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist das im Kreis gerechnet bzw. nicht zielführend. x soll nur in a,b ausgedrückt werden und nicht noch in y. Es gilt $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2xy = b \end{eqnarray}$ ------------------------------ $\begin{eqnarray} y = \frac{b}{2x} \end{eqnarray}$ und damit in die erste Gleichung ... -> x, und daraus dann y mY+
21.11.2008, 19:50	kim	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ok hab das alles verstanden, vielen vielen Dank und habe dann nur noch ein Problem: wenn ich die Gleichungen auflöse bzw. versuche, erhalte ich: 1.für x= $\begin{eqnarray} \sqrt{a+y^2} \end{eqnarray}$ und y= $\begin{eqnarray} \sqrt{-a+x^2} \end{eqnarray}$ 2. x=b/2y und y=b/2x setze ich dann 1. in 2. erhalte ich: 4y^2a+4y^4=b^2 wie kann ich das weiter nach y auflösen, ok mit der pq Formel aber dann erhalte ich x1= $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{2} /\sqrt{a} +1/2b \end{eqnarray}$ und x2=-0,5b und für y1=0,5b und y2= $\begin{eqnarray} -\sqrt[4]{2} /\sqrt{a} +1/2b \end{eqnarray}$ wenn ich die x und y in die 1. Gleichung einsetze und quasi z1 und z2 betimme komme ich leider nicht auf z^2=c??? weil z1= $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{2} /\sqrt{a} +1/2b \end{eqnarray}$ )+ i0,5b und ( $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{2} /\sqrt{a} +1/2b \end{eqnarray*}$ )^2= a+ib irgendwie nicht lösbar ist?
21.11.2008, 23:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast irgendwo mit der Gleichung 4. Grades gepatzt ..., diese lautet $\begin{eqnarray} 4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} x^2 = u \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 4u^2 - 4au - b^2 = 0 \end{eqnarray}$ Davon nimmst du nur die positive Lösung u, danach ist $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \pm \sqrt u \end{eqnarray}$ usw. mY+

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