Max Volumen

29.08.2006, 18:30

Anfaenger

Max Volumen

Hi habe da eine aufgabe die ich wohl inhaltlich nicht ganz verstehe.

aus einem 36 cm langem Draht soll ein Model einer quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die kanten zu wählen damit das Volumen maximal ist.

also wie verstehe ich das. Also der umfang für deckel und boden + die 4 höhen sind die 36 cm?

a = länge ; b = breite ; h = höhe

also 4*a + 4*b + 4*h = 36

richtig?

anfaenger

29.08.2006, 18:34

zweiundvierzig

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Genau, das ist die Nebenbedingung. Jetzt musst Du die Zielfunktion ermitteln für das Maximum ermitteln.

29.08.2006, 18:48

anfaenger

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hmm hatte in der schule ne aufgabe mit einer safttüte. hier fällt es mir echt schwer auf die nebenbedingung zu kommen. bei der safttüte:

a*b*h = V war ja

a = länge - 2*h
b = breite - 2*h

is das bei dieser aufgabe genauso? kann ich mri garnet vorstellen weil der draht ja durchgehend is ( ob das was damit zu tun hat^^)

anfaenger

29.08.2006, 18:53

zweiundvierzig

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Eine Säule kannst Du dir ja als Quader vorstellen, der eine Quadratische Grundseite hat. $\begin{eqnarray*} V=a*b*c \end{eqnarray*}$ kann demnach umgeformt werden.

29.08.2006, 19:06

anfaenger

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hmm ich verzweifel da gerade ein bisschen dran. habe den umfang von:

U = 4 (a+b+h)
V = a*b*h

U ist die nebenbedingung. das sagtes du ja. nun weiß ich net wie ich aus der a*b*h ne gleichung mit 1 unbekannten machen soll. wie gesagt bei der safttüte war es recht einfach.

29.08.2006, 19:11

zweiundvierzig

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Notfalls hilft eine Skizze Augenzwinkern

Wenn bei einem Quader die Seiten der Grundfläche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ heißen, wie ist das dann, bei einer qudratischen Fläche?

29.08.2006, 19:11

anfaenger

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hmm also ich suche ja die höhe h (oder auch c genannt). so gesehen muss ich von den 36 cm (länge des drahtes) also 4*h abziehen.
aber das bringt mich irgendwie nich näher an die lösung unglücklich

36 - 4h = 4a + 4b

29.08.2006, 19:15

anfaenger

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ach quadratisch ich depp xD und SORRY WEGEN DOPPELPOSTS müsste mich mal anmelden ^^.

also V = a² * h denke ich mir mal.

U = 8*a + 4*h sollte es sein.

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{36 - 4*h}{8}} \end{eqnarray*}$

und das a setze ich dann bei V ein oder?

29.08.2006, 19:16

zweiundvierzig

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Genau

Wobei noch etwas ausklammern kannst, um den Ausdruck zu vereinfachen.

29.08.2006, 19:20

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hi
also zu allererst muss dir bewusst werden, dass bei einer quadratischen Säule die Länge und Breite gleich sind.

1.Dann hast du erst mal eine Nebenbedienung mit weniger Variablen

2. Danach kommt die Zielfunktion.

3. dann setzt du die Nebenbedingung in die Zielfunktion, nachdem du die Nebenbedingung nach h aufgelöst hast

4. leite neue Funktion ab

5. Dann Extrempunkte bestimmen

6. durch zweite Ableitung prüfen, welche extrema die hochpunkte sind und am maximalsten!

das wars dann

edit: zu spät... Hammer

29.08.2006, 19:28

anfaenger

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naja würde noch darauf kommen:

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{9-h}{2}} \end{eqnarray*}$

weiß net ob das richtig is weil ich dann vorbei beim U = 8a +4h ausgeklammert habe. aber das erste was ich gepostet habe kam mir einfacher vor also das:

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{36-4*h}{8}} \end{eqnarray*}$

da würde doch dann folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{6 - 2* \sqrt{h} }{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich da? mir fällt da kein leichterer weg zu ein.

29.08.2006, 19:32

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{9-h}{2}} \end{eqnarray*}$ stimmt schon...das kannst du jetzt einsetzen.

29.08.2006, 19:41

anfaenger

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oh mann wat mach ich denn da. also wie kam ich denn gerade auf die Wurzel?

habe doch :

U = 8*a + 4*h
36 = 8*a + 4*h
umgeformt kommt da doch das raus:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{9-h}{2} \end{eqnarray*}$

das setze ich dann in V = a² * h ein:

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{81-h²}{4} * h \end{eqnarray*}$

oder nich?^^

29.08.2006, 19:41

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Zitat:

Original von anfaenger

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{36-4*h}{8}} \end{eqnarray*}$

da würde doch dann folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{6 - 2* \sqrt{h} }{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich da? mir fällt da kein leichterer weg zu ein.

DU darfst nicht Wurzel aus Summanden ziehen!!

die ersten beiden sind richtig, nur das erste, was du angeblich als schwerer empfindest, ist das empfehlenswertere, weil es schon durch 4 gekürzt worden ist.

setz das nun in der zielfunktion und dann leite die funktion ab.

29.08.2006, 19:43

anfaenger

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jo hatt eich ganz kurz vor dir auch in meinem post erwähtn ^^ weiß garnet wie ich auf einmal auf das Wurzel ziehnt kam.

naja so sollte das dann aussehen:

$\begin{eqnarray*} V(h) = -h³ + \frac{81}{4} \end{eqnarray*}$

stimmts diesmal?

29.08.2006, 19:46

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hi
Sry habe nicht aufgepasst und ich weiss auch nicht ,wie du auf der Wurzel gekommen bist, denn ich bin davon ausgegangen ,dass es richtig sei, weil zweiundvierzig das behauptete.

fangen wir von vorn an:
Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} 36=8a+4h \end{eqnarray*}$
Zielfunktion $\begin{eqnarray*} V(a)=a^2\cdot h \end{eqnarray*}$

soweit so gut.
Nun löse die Nebenbedingung nach a!!, denn das ist bei weitem einfacher und schneller.

jetzt lös die Nebenbedingung nach a auf Lehrer

29.08.2006, 19:52

anfaenger

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jab hatt emich auch gewundert woher das Wurzel kam xD naaj schwamm drüber.

also durch die nebenbedingung ist mein a wie folgt:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{8 - h}{2} \end{eqnarray*}$

dann haben wir V = a² * h
setze dann das h ein:

$\begin{eqnarray*} V(h) = (\frac{9 - h}{2})² * h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{81 - h²}{4}² * h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{81 - h³}{4} \end{eqnarray*}$

nu richtig? also das is dann die Zielfunktion. könnte natürlich noch die 81 durch die 2 teilen dann is der bruch weg.

$\begin{eqnarray*} V(h) = 40,5 - h³ \end{eqnarray*}$

29.08.2006, 19:57

Anfaenger

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also war mir zu doof habe mich mal angemeldet. nun mal richtig:

also durch die nebenbedingung ist mein a wie folgt:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{9 - h}{2} \end{eqnarray*}$

dann haben wir V = a² * h
setze dann das h ein:

$\begin{eqnarray*} V(h) = (\frac{9 - h}{2})² * h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{81 - h²}{4} * h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{81 - h³}{4} \end{eqnarray*}$

nu richtig? also das is dann die Zielfunktion. könnte natürlich noch die 81 durch die 2 teilen dann is der bruch weg.

$\begin{eqnarray*} V(h) = 40,5 - h³ \end{eqnarray*}$

29.08.2006, 19:57

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erst mal hast du die gleichung falsch nach a aufgelöst.

es geht folgendermaßen(weil es mir zu lange dauert)

$\begin{eqnarray*} 36=8a+4h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 36-4h=8a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\frac{36-4h}{8}=4-0,5h \end{eqnarray*}$

setz das nun in die zielfunktion ein!

29.08.2006, 20:01

Anfaenger

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ok das is niederschmetternd xD

nu hast du auch nen fehler gemacht 36/8 sind nicht 4 sondern 4,5 also wäre :

a = 4,5 - 0,5*h

29.08.2006, 20:06

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richtig und diese funktion

$\begin{eqnarray*} f(h)=(4-0,5h)^2\cdot h \end{eqnarray*}$

musst du ausklammern und dann ableiten! mach das mal

29.08.2006, 20:14

Anfaenger

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na gut also zielfunktion is (a= 4,5 - 0,5h nicht 4 - 0,5h):

$\begin{eqnarray*} V(h) = 0,25h³ +20,25h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'(h) = 0,75h² +20.25 V''(h) = 1,5h \end{eqnarray*}$

na dann berechne ich h und setze es in dei 2. Ableitung ein. MAN das war ein kampf ^^

29.08.2006, 20:23

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gut entdeckt... man heute bin ich sehr beschäftigt und habe einen schlechten tag... sry für den fehler

der nächste schritt ist auch korrekt!

nun setze die erste ableitung gleich null und finde die extrempunkte heraus!

29.08.2006, 20:26

Anfaenger

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ok naja die aufgabe kommt mir nur so blöd vor weil wir in sek 1 fast nur mit ganzen zahlen als ergebniss rechnen musste xD na so lernt man natürlich was ^^ sollte mcih wohl dran gewöhnen das endlich nich alles so perfekt gerade is hehe

aber thx für die hilfe.

gruß anfaenger

29.08.2006, 20:30

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aber du brauchst nicht für h die extrempunkte,............ ich meinte am anfang, dass wir die zielfunktion mit der variablen a erhalten sollen! ich war eben sehr beschäftigt und wollte dir dabei helfen, daher habe ich mic hnciht richtig konzentriert Hammer

ich gebe dir mal das ergebnis, damit das geklärt ist, weil ich denke, dass du es verstanden hast:

$\begin{eqnarray*} h=9-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a)=a^2\cdot (9-2a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a)=-2a^3+9a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(a)=-6a^2+18a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-6a^2+18a \end{eqnarray*}$

du müsstest zwei extrempunkte bekommen und überprüfe, welcher der hochpunkt ist!

außerdem muss folgende bedingung gelten $\begin{eqnarray*} 0<a<36 \end{eqnarray*}$

29.08.2006, 20:35

Anfaenger

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moment. ich muss doch h also die kanten länge bestimmen. a ist doch die seite des quadrates also der grundfläche. und ich soll ermitteln wie lange die kanten sein solln für ein max. volumen.

29.08.2006, 21:16

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ja stimmt, wie gesagt- ich habe heute nur 4 std geschlafen und ich denke, dass ich jetzt auch aufhöre
Hammer

29.08.2006, 21:18

Anfaenger

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jo aber hast mir trotzdem geholfen Augenzwinkern

stell mich selber einfach oft zu blöd an ^^ naja ich mach mich mal an die aufgabe ^^

gn8 hehe
anfaenger

29.08.2006, 21:23

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sry habe eben beim einschlafen gedacht und musste zurück, damit ich kein schlechtes gewissen habe Big Laugh

die quadratische Säule hat 12 kanten und du musst die längen aller benennen.

schreib hier mal die lösung auf und ich versuche es zu überprüfen!

29.08.2006, 21:31

Anfaenger

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heeh ok also wenn ich die länge von h der Höhe habe habe ich auch a. is ja ne quadratische säule da gibts nur a und h.

a ermitteln:

U = 8*a + 4*h [8*a is der Umfang von Deckel und Boden welche Quadratisch sind ; 4*h sind die 4 Senkrechten höhen die zu ermitteln sind]

U = 36
36 = 8*a +4*h
a = 4,5 - 0,5*h

hier die V(h) Funktionen:

$\begin{eqnarray*} V(h) = 0,25h³ +20,25h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'(h) = 0,75h² +20.25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''(h) = 1,5h \end{eqnarray*}$

V'(h)= 0 also

$\begin{eqnarray*} 0 = 0,75h² +20.25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-20,25}{0,75} = h² \end{eqnarray*}$

weiter würde es net gehen weil dann eine negative zahl unter der wurzel steht.

29.08.2006, 21:42

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also warum das nicht geht, werde ich mal jetzt selbst berechnen, denn wir haben da bestimmt vorhin einen Fehler gemacht!

Nun nimm die Funktion mit f(a), was ich oben aufgeschrieben habe. ich werde dir das Ergebnis aufschreiben und ich hoffe,dass du es dir auch genau anschaust und nicht nur abschreibst.

$\begin{eqnarray*} f(a)=-2a^3+9a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(a)=-6a^2+18a \end{eqnarray*}$

extrempunkte
notw. Bed. $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-6a^2+18a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_2=3 \end{eqnarray*}$

0 ist auszuschliessen, da gilt $\begin{eqnarray*} 0<a<36 \end{eqnarray*}$

hinr. Bed.

$\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(a)=-12a+18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(3)=-18 \end{eqnarray*}$ also HP

$\begin{eqnarray*} h=9-2a=9-2\cdot3=3 \end{eqnarray*}$

also müssen alle Kanten 3(m) lang sein

29.08.2006, 21:45

Anfaenger

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es sind cm hehe

eine frage. wieso berechnen wir denn nicht h um V(h) als zielfunktion zu bekommen? du hast ja nun V(a) als zielfunktion. naja das is genau das was ich nicht verstehe. woher weiß ich was ich bei der nebenbeding berechnen muss bzw wonach ich auflösen muss (hier zB nach h wie du sagtes) ?

Hier nochma die aufgaben stellung :

Aus einem 36 cm langen Draht soll das Model einer quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind dei Kanten zu wählen damit die Säule maximales Volumen hat?

also wo seh ich da das nach a gesucht ist und nicht nach h. quadratische säule heißt doch das die grundflächen quadratisch sind ( a²) und die die höhe dann ungleich a ist sons wäre es ja ein würfel oder quader wie auch immer das heißt.

29.08.2006, 21:57

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Darüber denke ich auch gerade nach. das ist eine gute frage únd ich bin da überfordert. geschockt

Bei Flächeninhaltsaufgaben wäre das kein Problem, nach was man auflöst. Das Problem liegt bei dem Quadrat und wie du erwähntest, kann man da keine negativen Zahlen ziehen.
Man merkt sofort daran, was man nehmen muss, indem man schaut, welche Variable das Quadrat darstellt und sein Extremwert muss man berechnen.

Aber den wahren Grund kenn ich nicht, da muss jemand anderes antworten, der sich damit auskennt

edit: die ergebnisse müssten so stimmen. Wenn sie ein Quader schreiben würden, dann wäre die Aufgabe zu leicht... ein quader ist auch eine quadratische Säule!!

29.08.2006, 22:04

Anfaenger

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vllt sollte ich mal meinen lehrer fragen aber der erzählt mir einen vom pferd xD naja also in der aufgabe steht ja :

[...] Wie lang sind dei Kanten zu wählen [...]

das "lang" weist vllt auf das a hin. und mi dem a geht das ja auch wie du gezeigt hast.

naja bei deinem ergebniss ist das ganze dann auch ein quader aber dann versuch ich das nochma komplett selber durchzurechnen. das ergebniss nehm ich dann und werde mich dazu durchringen meine lehrerin zu fragen.aber thx für deine hilfe Augenzwinkern

anfaenger

29.08.2006, 23:40

yeti777

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$\begin{eqnarray*} V=a^2*h -> max. \end{eqnarray*}$ , Zielfunktion (1)
$\begin{eqnarray*} L=8*a+4*h=36 \end{eqnarray*}$ , Nebenbedingung (2)
Aus (2) folgt: $\begin{eqnarray*} a=\frac{9-h}{2} \end{eqnarray*}$ (2')
(2') eingesetzt in (1): $\begin{eqnarray*} V=(\frac{9-h}{2})^2*h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'=\frac{3}{4}h^2-9h+\frac{81}{4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V''=\frac{3h}{2}-9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'=0 => h= \{ 3,9\} \end{eqnarray*}$ , Lösungen der quadratischen Gleichung
$\begin{eqnarray*} V''(3)=- \frac{9}{2} <0 => Maximum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''(9)=+ \frac{9}{2} <0 => Minimum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => h=3 => a=\frac{9-h}{2} = 3 \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich ein Würfel mit der Kantenlänge 3, dem Volumen 27 und der Summe aller Kanten von 8a+4h = 8*3 + 4*3 = 36.

Gruss yeti

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