3te Wurzel einer Komplezen Zahl.

21.11.2008, 16:32

bartho

3te Wurzel einer Komplezen Zahl.

Kann mir vielleicht jemand erklären wie ich die 3te Wurzel aus einer Komplezen zahl bekomme?
z.b. $\begin{eqnarray*} z=-9-46i \end{eqnarray*}$

21.11.2008, 16:54

mYthos

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Kannst du mal die komplexe Zahl in Exponentialschreibweise oder in der trigonometrischen Darstellung anschreiben?

$\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$

Im ersten Fall jetzt die dritte Wurzel ziehen (aus dem Betrag und der e-Potenz, Periodizität der Winkelfunktionen beachten, -> 3 Lösungen), im zweiten Fall ebenfalls so, den Satz von Moivre anwenden.

Dein Fragengebiet wurde schon sehr oft im Forum behandelt. Sh. z.B. Komplexe zahlen

mY+

21.11.2008, 17:15

bartho

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r= $\begin{eqnarray*} 13\sqrt{13} \end{eqnarray*}$
fi= $\begin{eqnarray*} arctan(\frac{46}{9})-\pi \end{eqnarray*}$

Sehe ich das so richtig:
$\begin{eqnarray*} w_o = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})-\pi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+\pi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+2\pi)} \end{eqnarray*}$

21.11.2008, 17:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von bartho
fi= $\begin{eqnarray*} arctan(\frac{46}{9})-\pi \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. In welchem Quadranten liegt denn die komplexe Zahl?

21.11.2008, 18:07

bartho

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Im III. und da gilt doch arctan b/a - pi

21.11.2008, 18:10

klarsoweit

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Da bist du im Irrtum.

21.11.2008, 18:14

bartho

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darf ich da das - nicht wegkürzen oder was?
wo liegt $\begin{eqnarray*} -9-46i \end{eqnarray*}$ denn?

21.11.2008, 18:15

mYthos

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Zitat:

Original von bartho
Im III. und da gilt doch arctan b/a - pi

Wenn der arctan bei dir positiv ist, stimmt das, denn du kommst dann über den 4. Quadranten dorthin. Gleichermaßen gilt es auch mit $\begin{eqnarray*} + \pi \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich hatte deine Division des Winkels durch 3 übersehen, sorry, dann stimmt dieses.

[....]
[EDIT: Unrichtiges entfernt!]

Und: Die dritte Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 13 \sqrt{13} \end{eqnarray*}$ kann man leicht vereinfachen.

mY+

21.11.2008, 18:19

bartho

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Zitat:

Original von mYthos
Du hast etwas Entscheidendes vergessen bzw. auch falsch gemacht: Es ist sowohl der Anfangswinkel als auch die jeweilige Periodenlänge der SIN- bzw. COS-Funktionen ( $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ) durch 3 zu dividieren. Mit dem arctan kann man sich im Weiteren hinsichtlich der Vorzeichen bzw. Mehrdeutigkeit innerhalb der ersten vier Quadranten leicht verrechnen.

jetzt weiß ich irgendwie garnichtmehr weiter

21.11.2008, 18:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von bartho
darf ich da das - nicht wegkürzen oder was?
wo liegt $\begin{eqnarray*} -9-46i \end{eqnarray*}$ denn?

Genau darüber solltest du dir klar werden. Überlege dir, welchen Winkel du mit arctan(46/9) erhältst und welchen Winkel du insgesamt brauchst.

21.11.2008, 18:26

mYthos

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Sorry, ich habe die Drittel beim Winkel übersehen, also die Division beim Winkel durch 3 ist OK. Du brauchst nur noch den Betrag vereinfachen.

mY+

21.11.2008, 18:29

bartho

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Achso, ich braucht $\begin{eqnarray*} arctan(46/9) \end{eqnarray*}$ und dann entweder $\begin{eqnarray*} +-\pi \end{eqnarray*}$ damit ich quasi einmal im halbpreis rumgehe.

21.11.2008, 18:33

klarsoweit

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Nun ja. Du gehst einmal den Halbkreis und zusätzlich noch arctan(49/6).

21.11.2008, 18:37

bartho

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Zitat:

Original von bartho
fi= $\begin{eqnarray*} arctan(\frac{46}{9})-\pi \end{eqnarray*}$

und was ist da dann falsch?

21.11.2008, 18:40

mYthos

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Nichts, wenn du den Winkel, welchen arctan liefert, vom 1. Quadranten nimmst. Sei dir aber bewusst, dass du dann einen negativen Gesamtwinkel hast. Besser wäre es also mit $\begin{eqnarray*} + \pi \end{eqnarray*}$ .

mY+

21.11.2008, 18:49

bartho

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wäre das dann richtig:
$\begin{eqnarray*} w_o = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+\pi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1 = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+3\pi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+5\pi)} \end{eqnarray*}$

21.11.2008, 18:50

Leopold

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Lösung mit Zahlentheorie. Verdacht: Es gibt eine Lösung mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil.

Ansatz: $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^3 = -9 - 46 \operatorname{i} \ \ \Leftrightarrow \ \ (x + \operatorname{i}y)^3 = - 9 - 46 \operatorname{i} \ \ \Leftrightarrow \ \ x^3 + 3x^2 y \operatorname{i} -3xy^2 - y^3 \operatorname{i} = - 9 - 46 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x \left( x^2 - 3y^2 \right) = -9 \ \ \text{und} \ \ y \left( 3x^2 - y^2 \right) = -46 \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung zeigt, daß für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur die Zahlen $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm 3, \pm 9 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen. Für $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ berechnet man aus der ersten Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ und einem der beiden $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte wird auch die zweite Gleichung erfüllt. Lösung gefunden! Sämtliche Lösungen bekommt man daraus durch Multiplikation mit den dritten Einheitswurzeln.

21.11.2008, 18:56

mYthos

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@Leopold
Und was machst du in dem Fall, wenn sich der Verdacht nicht bewahrheitet?

@bartho

Die 3. Wurzel beim Betrag ist noch unschön, es kommen doch 3 gleiche Faktoren $\begin{eqnarray*} \sqrt{13} \end{eqnarray*}$ vor, was ist denn daraus die 3. Wurzel? Ansonsten stimmt es.

Ausgehend von diesem Resultat kannst du bei diesem wieder auf die binomische Schreibweise übergehen (mit dem TR geht ja das leicht) und du wirst auch die von Leopold angedeuteten ganzzahligen Ergebnisse erhalten.

mY+

21.11.2008, 19:41

Leopold

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@ mYthos
Und was machst du ohne Taschenrechner?

Im übrigen berufe ich mich auf ein viel verwendetes, aber anscheinend kaum bekanntes

Theorem
Bei Übungsaufgaben zu Vorlesungen erhält man in über 50 Prozent der Fälle, in Anfängervorlesungen sogar in über 90 Prozent der Fälle schöne Ergebnisse.

22.11.2008, 09:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von bartho
Achso, ich braucht $\begin{eqnarray*} arctan(46/9) \end{eqnarray*}$ und dann entweder $\begin{eqnarray*} +-\pi \end{eqnarray*}$ damit ich quasi einmal im halbpreis rumgehe.

OK. Ist prinzipiell richtig. Ich dachte eher daran, daß der Winkel zwischen Null und 2*pi liegen sollte. Dann kommt natürlich nur +pi in Frage.

24.11.2008, 17:04

bartho

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Zitat:

Original von bartho
$\begin{eqnarray*} w_o = \sqrt[3]{13\sqrt{13}} e^{\frac{i}{3}(arctan(\frac{46}{9})+\pi)} \end{eqnarray*}$

Ich habe irgendwie immernoch meine Probleme, ich versuche das nun z.b. auzurechnen:
$\begin{eqnarray*} w_o = \sqrt{13} e^{i\frac{1}{3}(arctan(\frac{46}{9})+\pi)} \end{eqnarray*}$
Dann würde ich ja herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} Re z = r*cos(fi) \Rightarrow \sqrt{13} * cos( \frac{1}{3} (arctan(\frac{46}{9} )+\pi)) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} Im z = r*sin(fi) \Rightarrow \sqrt{13} * sin( \frac{1}{3} (arctan(\frac{46}{9} )+\pi)) \end{eqnarray*}$
Da kommt aber wenn ichs in Taschenrechner eingabe nix gerades raus.?!

Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} x \left( x^2 - 3y^2 \right) = -9 \ \ \text{und} \ \ y \left( 3x^2 - y^2 \right) = -46 \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung zeigt, daß für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur die Zahlen $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm 3, \pm 9 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

Wie kommt man auf die $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm 3, \pm 9 \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2008, 18:09

Leopold

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Zitat:

Original von bartho

Zitat:

Wie kommt man auf die $\begin{eqnarray*} \pm 1, \pm 3, \pm 9 \end{eqnarray*}$ ?

Das Ganze basiert auf einer Unterstellung, nämlich daß es eine Lösung $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$ gibt, bei der $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen sind. Wie mYthos richtig bemerkt hat, weiß man natürlich nicht, ob die Unterstellung wirklich zutrifft. Dann bliebe einem wohl nichts anderes übrig, als den Rechenweg über die Trigonometrie zu beschreiten, den du gewählt hast. Aber vielleicht hat man ja auch Glück - und hier funktioniert es!

Beachte, daß die Grundrechenarten außer der Division nicht aus dem Bereich der ganzen Zahlen hinausführen, daher ist mit $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x^2 - 3y^2 \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl. Und wenn das Produkt zweier ganzer Zahlen $\begin{eqnarray*} -9 \end{eqnarray*}$ ergibt, kommen dafür nur die positiven oder negativen Teiler von $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ in Frage. Und wenn man die nun der Reihe nach durchprobiert, stellt man fest, daß es mit $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$ funktioniert.

24.11.2008, 18:18

bartho

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Die annahme stimmt ja mit den ganzen zahlen, bloß wie komme ich mittels trigometrie auf das selbe? Wenn ich es z.b. in den Taschenrechner eingebe kommt nichts gerades raus.

24.11.2008, 18:23

Leopold

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Dein $\begin{eqnarray*} w_0 \end{eqnarray*}$ ist ja nur eine von drei Lösungen. Und eine der beiden anderen Lösungen liefert einen ganzzahligen Real- und Imaginärteil.

24.11.2008, 19:44

mYthos

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Die ganzzahlige Lösung gibt es nur für den letzten Winkel, sie ist $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ , die beiden anderen sind mit Wurzeln behaftet.

mY+

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3te Wurzel einer Komplezen Zahl.

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