Vektorenaufgabe

21.11.2008, 19:56	cmm	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorenaufgabe Hallo, ich hab hier ne Hammeraufgabe, wie ich finde, bei der ich nicht mal weiß wie ich anfangen soll. Kann mir jemand helfen???? Danke. IM $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ seien zwei Punkte A und B durch die beiden Ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = \vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c} = \vec{OC} = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definiert. Ferner sei für jedes $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Gerade $\begin{eqnarray} g_{\lambda }= \{ \vec{x} \in \mathbb R :\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} ,\gamma \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ gegeben. Aufgaben: a) Zeigen Sie, dass A auf der Gerade $\begin{eqnarray} g_{8} \end{eqnarray}$ liegt. b) Ermitteln Sie den Wert für $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , für den der Punkt C auf der zugehörigen Gerade $\begin{eqnarray} g_{\lambda } \end{eqnarray}$ liegt. c) Welche der Geraden $\begin{eqnarray} g_{\lambda } \end{eqnarray}$ hat vom Koordinatenursprung O den kleinsten Abstand? Geben Sie eine Parameterdarstellung dieser Geraden an. d) Es existieren ein Punkt B auf der Geraden $\begin{eqnarray} g_{-17} \end{eqnarray}$ und ein Punkt D auf $\begin{eqnarray} g_{8} \end{eqnarray}$ , so dass das Viereck ABCD ein Quadrat mit der Diagonalen $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ ist. Berechnen Sie die Ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{b} = \vec{OB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} = \vec{OD} \end{eqnarray}$ .
21.11.2008, 22:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist weder Analysis noch Hochschulmathematik. Verschoben Was hast du denn für Ansätze? Was musst du denn bei a) z.B. zeigen? Was muss $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ erfüllen, wenn der Punkt auf der Geraden liegen soll? Guck dir dafür einfach mal die Definition der Geraden an.
22.11.2008, 00:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis zu c): Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird bestimmt, indem durch den Punkt eine Normalebene gelegt und mit der Geraden geschnitten wird. Der Abstand ist dann die Distanz des Punktes zu dem Schnittpunkt. Lege also durch den Nullpunkt eine Normalebene zu $\begin{eqnarray} g_\lambda \end{eqnarray}$ und schneide diese mit der Geraden. Du erhältst den Schnittpunkt in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , indem du nach $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ auflöst und dieses wieder in die Geradengleichung einsetzt. Die Distanz, besser deren Quadrat (um die Wurzel zu umgehen), kannst du nun mittels Differentialrechnung minimieren. [ $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{5}{2} \ ; \ \gamma = -\frac{1}{2} \ ; \ d = 3 \ ; \ S(0; 0; -3) \end{eqnarray}$ ] mY+
22.11.2008, 10:13	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) ein hübscher, rein geometrischer und einfacher weg geht so: du bestimmst zuerst den lotfußpunkt der zu $\begin{eqnarray} E:\quad{ }z=-3 \end{eqnarray}$ senkrechten geraden durch O. das ist die ebene, in der alle geraden $\begin{eqnarray} g_\lambda \end{eqnarray}$ liegen. das ergibt (sofort und ohne rechnung ) $\begin{eqnarray} d=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S(0/0/-3) \end{eqnarray}$ und nun bestimmst du die gerade der schar, auf der S liegt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem ergebnis von Mythos zu d) einfach und sicher : bestimme die "mittelsenkrechte" ebene zu $\begin{eqnarray} \overline{AB} \end{eqnarray}$ , schneide mit den entsprecheden geraden und hoffe, dass sich ein quadrat ergibt. alternativ und aufwendig: verwende das skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} g_8 \end{eqnarray}$ liegt $\begin{eqnarray} D(5/-3/-3) \end{eqnarray}$

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