komplementärer Vektorraum, Basis

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s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
komplementärer Vektorraum, Basis
Hallo!
Bei folgender Aufgabe, weiß ich nicht wie ich den komplementären Vektorraum finden soll.

Es sei U:= {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} ein aufgespannter Unterraum des R-Vektorraumes R^4. Finden Sie einen Unterraum V, der komplementär zu U in R^4 ist. Geben Sie eine Basis B von V an, und stellen Sei den Vektor (1,1,1,1) in der Basis B vereinigt mit {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} von R^4 dar.

Wie ich eine Basis finde und dann den Vektor darstelle, das weiß ich. Aber dazu brauch ich erst einmal den komplementären Vektorraum.

Ich habe folgende Definition:
U1 und U2 in V heißen komplementär, wenn U1+U2=V und U1 geschnitten mit U2= {0}
Was das bedeutet ist mir eigentlich klar, ich weiß aber trotzdem nicht wie ich bei dieser Aufgabe ansetzten soll.
Hier habe ich ja nicht U1 und U2, sondern U und V und der Vektorraum ist
R^4. Und weiter?

Bitte helft mir!
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Falls du das Skalarprodukt verwenden kannst, bestimmst du die Menge der Vektoren, die senkrecht auf U stehen.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Ich weiß, wie ich eine Skalarmultiplikation aus zwei Vektoren mache, aber wie soll das mit zwei Mengen von Vektoren gehen? Einfach jeweils einen Vektor senkrecht zu einem Vektor aus U?
Da gibt es dann doch mehrere Lösungsmöglichkeiten, oder?
Wäre V={(0,1,0,1), (0,0,0,1)} richtig?
Oder müssen die Vektoren von V alle zu den Vektoren von U senkrecht stehen? Dann gäbe es nur (0,0,0,1) in V.
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Also (0,1,0,1) steht nicht auf dem zweiten Vektor von U senkrecht. Es gibt aber noch einen Vektor, der auf beiden Vektoren von U senkrecht steht und der linear unabhängig von dem Vektor ist, den du gefunden hast.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Das ist doch dann der Nullvektor, oder? Zählt der dazu?
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Der Nullvektor steht zwar auf jedem Vektor senkrecht, wir brauchen aber einen Vektor, der auch Teil einer Basis ist, und das kann der Nullvektor nicht leisten.

Wenn du so nicht drauf kommst, dann mache doch den Ansatz x = (a, b, c, d). Bilde nun die Skalarprodukte mit dem Vektor x.
 
 
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Danke, ich stand irgendwie auf dem Schlauch.
Weitere Vektoren, die zu denen von U senkrecht stehen, sind
(1,0,-1,0), (-1,0,1,0) sind aber lin abh, dh ich geb nur einen an und
(1,0,-1,1), (-1,0,1,1).
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Warum nicht (1,0,-1,0) und (0,0,0,1) ? verwirrt
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
(0,0,0,1) war doch schon klar. Ich meinte die zusätzlichen Vektoren. Reichen alle, die du jetzt hingeschrieben hast?
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
müssen (1,0,-1,1) und (-1,0,1,1) nicht noch dazu?
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Nein, die ergeben sich aus diesen beiden genannten.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Ja klar. Danke! Manchmal sehe ich die einfachsten Dinge nicht.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Habe jetzt folgende Lösung. Wäre dir dankbar, wenn du mir schreiben könntest, ob sie richtig oder falsch ist!

V={(1,0,-1,0), (0,0,0,1)}

B={(1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}

B {(1,0,1,0), (0,1,0,0)}= {(1,0,1,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}

(1,1,1,1) = (1,0,0,0) + (0,1,0,0) + (0,0,1,0) + (0,0,0,1)
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Im Grunde alles falsch. Anscheinend machst du dir fast keine Gedanken, worum es eigentlich geht. Nun denn:

V ist ein Unterraum, der von bestimmten Vektoren aufgspannt wird. Man schreibt V = span({(1,0,-1,0), (0,0,0,1)}) .

B soll eine Basis von V sein. Da die Vektoren, die V aufspannen, linear unabhängig sind, ist B = {(1,0,-1,0), (0,0,0,1)} .

{(1,0,1,0), (0,1,0,0)} = {(1,0,-1,0), (0,0,0,1), (1,0,1,0), (0,1,0,0)}

(1,1,1,1) = Linearkombination aus den Vektoren von B.
Diese mußt du noch bestimmen.

EDIT: muß natürlich heißen: (1,1,1,1) = Linearkombination aus den Vektoren von {(1,0,1,0), (0,1,0,0)}
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Vielen vielen Dank!
Ich soll doch (1,1,1,1) in B vereinigt mit {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} darstellen. (du hast geschrieben in B)
(1,1,1,1)=(0,0,0,1) + (1,0,1,0) + (0,1,0,0)
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RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Zitat:
Original von s1mathe
Ich soll doch (1,1,1,1) in B vereinigt mit {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} darstellen. (du hast geschrieben in B)

Ja, danke für den Hinweis. Hab's korrigiert. smile
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