komplementärer Vektorraum, Basis |
22.11.2008, 00:10 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
komplementärer Vektorraum, Basis Bei folgender Aufgabe, weiß ich nicht wie ich den komplementären Vektorraum finden soll. Es sei U:= {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} ein aufgespannter Unterraum des R-Vektorraumes R^4. Finden Sie einen Unterraum V, der komplementär zu U in R^4 ist. Geben Sie eine Basis B von V an, und stellen Sei den Vektor (1,1,1,1) in der Basis B vereinigt mit {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} von R^4 dar. Wie ich eine Basis finde und dann den Vektor darstelle, das weiß ich. Aber dazu brauch ich erst einmal den komplementären Vektorraum. Ich habe folgende Definition: U1 und U2 in V heißen komplementär, wenn U1+U2=V und U1 geschnitten mit U2= {0} Was das bedeutet ist mir eigentlich klar, ich weiß aber trotzdem nicht wie ich bei dieser Aufgabe ansetzten soll. Hier habe ich ja nicht U1 und U2, sondern U und V und der Vektorraum ist R^4. Und weiter? Bitte helft mir! |
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22.11.2008, 09:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Falls du das Skalarprodukt verwenden kannst, bestimmst du die Menge der Vektoren, die senkrecht auf U stehen. |
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23.11.2008, 13:10 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Ich weiß, wie ich eine Skalarmultiplikation aus zwei Vektoren mache, aber wie soll das mit zwei Mengen von Vektoren gehen? Einfach jeweils einen Vektor senkrecht zu einem Vektor aus U? Da gibt es dann doch mehrere Lösungsmöglichkeiten, oder? Wäre V={(0,1,0,1), (0,0,0,1)} richtig? Oder müssen die Vektoren von V alle zu den Vektoren von U senkrecht stehen? Dann gäbe es nur (0,0,0,1) in V. |
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23.11.2008, 13:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Also (0,1,0,1) steht nicht auf dem zweiten Vektor von U senkrecht. Es gibt aber noch einen Vektor, der auf beiden Vektoren von U senkrecht steht und der linear unabhängig von dem Vektor ist, den du gefunden hast. |
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23.11.2008, 14:24 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Das ist doch dann der Nullvektor, oder? Zählt der dazu? |
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23.11.2008, 14:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Der Nullvektor steht zwar auf jedem Vektor senkrecht, wir brauchen aber einen Vektor, der auch Teil einer Basis ist, und das kann der Nullvektor nicht leisten. Wenn du so nicht drauf kommst, dann mache doch den Ansatz x = (a, b, c, d). Bilde nun die Skalarprodukte mit dem Vektor x. |
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23.11.2008, 21:57 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Danke, ich stand irgendwie auf dem Schlauch. Weitere Vektoren, die zu denen von U senkrecht stehen, sind (1,0,-1,0), (-1,0,1,0) sind aber lin abh, dh ich geb nur einen an und (1,0,-1,1), (-1,0,1,1). |
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23.11.2008, 22:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Warum nicht (1,0,-1,0) und (0,0,0,1) ? |
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23.11.2008, 22:54 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis (0,0,0,1) war doch schon klar. Ich meinte die zusätzlichen Vektoren. Reichen alle, die du jetzt hingeschrieben hast? |
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23.11.2008, 22:57 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis müssen (1,0,-1,1) und (-1,0,1,1) nicht noch dazu? |
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24.11.2008, 08:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Nein, die ergeben sich aus diesen beiden genannten. |
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24.11.2008, 14:09 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Ja klar. Danke! Manchmal sehe ich die einfachsten Dinge nicht. |
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24.11.2008, 17:18 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Habe jetzt folgende Lösung. Wäre dir dankbar, wenn du mir schreiben könntest, ob sie richtig oder falsch ist! V={(1,0,-1,0), (0,0,0,1)} B={(1,0,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} B {(1,0,1,0), (0,1,0,0)}= {(1,0,1,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} (1,1,1,1) = (1,0,0,0) + (0,1,0,0) + (0,0,1,0) + (0,0,0,1) |
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25.11.2008, 09:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Im Grunde alles falsch. Anscheinend machst du dir fast keine Gedanken, worum es eigentlich geht. Nun denn: V ist ein Unterraum, der von bestimmten Vektoren aufgspannt wird. Man schreibt V = span({(1,0,-1,0), (0,0,0,1)}) . B soll eine Basis von V sein. Da die Vektoren, die V aufspannen, linear unabhängig sind, ist B = {(1,0,-1,0), (0,0,0,1)} . {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} = {(1,0,-1,0), (0,0,0,1), (1,0,1,0), (0,1,0,0)} (1,1,1,1) = Linearkombination aus den Vektoren von B. Diese mußt du noch bestimmen. EDIT: muß natürlich heißen: (1,1,1,1) = Linearkombination aus den Vektoren von {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} |
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25.11.2008, 11:40 | s1mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis Vielen vielen Dank! Ich soll doch (1,1,1,1) in B vereinigt mit {(1,0,1,0), (0,1,0,0)} darstellen. (du hast geschrieben in B) (1,1,1,1)=(0,0,0,1) + (1,0,1,0) + (0,1,0,0) |
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25.11.2008, 11:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: komplementärer Vektorraum, Basis
Ja, danke für den Hinweis. Hab's korrigiert. |
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