Integral bzgl Wahrscheinlichkeitsmaß

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Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »
Integral bzgl Wahrscheinlichkeitsmaß
Moin!

In einer Stochastikvorlesung sind wir über folgenden Satz gestolpert:

Sei reellwertige Zufallsgröße mit (das heißt, ist Wahrscheinlichkeitsmaß, ergo . Sei weiterhin messbar und . Dann gilt:


Ist soweit kein Problem, nur habe ich als Informatiker die Analysis 2 nicht genossen und bin daher von der Form des Integrals überrumpelt worden. Ich habe bereits herausgefunden, dass es sich hierbei dann nicht um ein Riemann-, sondern um ein Lebesgueintegral bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes (insb. nicht des Lebesguemaßes) handelt. Ich hab nun zwei Fragen:

Gibt es ne Chance, sich das Integral bzgl eines beliebigen Maßes noch vorzustellen?

Wie berechnet man das mit einem konkret gegebenem ?
Insbesondere könnten ja Wahrscheinlichkeitsgewichte vorliegen (bei einer diskreten Verteilung); dann müsste ich ja wieder zur bekannten Summe kommen. Für eine Verteilung mit Dichte wäre das Wahrscheinlichkeitmaß ja bereits über (Riemann)Integrale über der Dichtefunktion definiert, wie schaut das dann aus?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ergo


Das funktioniert nicht, man kann kein Maß auf der Potenzmenge der reellen Zahlen definieren. Es sei den Du lehnst das Auswahlaxiom ab, dann ist alles Messbar.

Zitat:
Gibt es ne Chance, sich das Integral bzgl eines beliebigen Maßes noch vorzustellen?


Beim Lebesquemaß geht man so vor



wobei Treppenfunktionen sind mit



und



Das ganze Funktioniert, weil die Treppenfunktionen dicht in den messbaren Funktionen liegen. Die Treppenfunktionen kann man so auch für andere Maße definieren, ich bin mir nur nicht mehr sicher ob man den Grenzwertschluss oben dann noch so machen darf.

Zitat:
Wie berechnet man das mit einem konkret gegebenem ?


Meistens hat man , wie Du selbst schon sagst, eine Dichte (Riemanndichte) mit der man Wahrscheinlichkeiten und Momente mit Hilfe des Riemannintegrals berechnen kann. Beim Lebesqueintegral macht man es so wie die Definition, eine Funktionenfolge von Treppenfunktion die gegen eine Funktion konvergiert benutzen und die Summe ausrechnen.
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
ergo


Das funktioniert nicht, man kann kein Maß auf der Potenzmenge der reellen Zahlen definieren. Es sei den Du lehnst das Auswahlaxiom ab, dann ist alles Messbar.

Oh, selbstverständlich. Es hätte mit der Borel--Algebra sein müssen. Da war ich eben etwas schnell. Den mehrdimensionalen Fall hab ich auch mal eben ausgeschlossen, tztztz.

Eine Bedingung für deine ist , oder?

Zitat:
Die Treppenfunktionen kann man so auch für andere Maße definieren, ich bin mir nur nicht mehr sicher ob man den Grenzwertschluss oben dann noch so machen darf.

Was spräche denn dagegen?

Es gibt also im Allgemeinen keine "schöne" Rechenvorschrift (ala "finde die Stammfunktion und setze die Grenzen ein", was natürlich auch nur für Spezialfälle angenehm ist), sondern man muss immer (?) den langen Weg gehen. Danke für die Antwort!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine Bedingung für deine ist , oder?


Ja, das schöne ist, dass hierfür punktweise Konvergenz ausreicht.

Zitat:
Was spräche denn dagegen?


Ich bin kein Experte was Maßtheorie angeht, prinzipiell könnte man ein Integral so auch für bel. Maße definieren. Die konvergenz Eigenschaft ist ja unabhängig vom Maß.

Zitat:
Es gibt also im Allgemeinen keine "schöne" Rechenvorschrift (ala "finde die Stammfunktion und setze die Grenzen ein", was natürlich auch nur für Spezialfälle angenehm ist)


Die schöne Rechenvorschrift bekommt Du halt wenn Du eine Dichte hast die Riemannintegrierbar ist. Aber ein allgemeines Lebesqueintegral lässt sich mMn nicht so schnell berechnen. Allerdings hab ich Maßtheorie nicht bis ins Detail gehört.
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Die schöne Rechenvorschrift bekommt Du halt wenn Du eine Dichte hast die Riemannintegrierbar ist. Aber ein allgemeines Lebesqueintegral lässt sich mMn nicht so schnell berechnen. Allerdings hab ich Maßtheorie nicht bis ins Detail gehört.

Hm, wie das? Ich meine, dann habe ich zwar ne hübsche Verteilungsfunktion (als Wsmaß) in geschlossener Form (weil Integral der Dichte), aber das entbindet mich doch trotzdem nicht vom Grenzübergang bei den Treppenfunktionen, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch so: Die meisten Maße, die dir begegnen, sind entweder absolutstetig bzgl. eines Lebesguemaßes, oder diskret, oder zumindest eine Summe von beiden. Im ersten Fall kannst du es über ein gewöhnliches Riemannintegral berechnen, im zweiten Fall als Summe (oder auch Reihe), und im dritten Fall entsprechend als Summe von Integral und Reihe.

Falls dir ein anderes Integral begegnet, was sich auch durch keine Transformation auf diese drei Typen reduzieren lässt - was durchaus vorkommen kann, aber wie gesagt sehr selten ist - dann her damit: Da muss man sich eben speziell was ausdenken. Augenzwinkern
 
 
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Es ist doch so: Die meisten Maße, die dir begegnen, sind entweder absolutstetig bzgl. eines Lebesguemaßes, oder diskret, oder zumindest eine Summe von beiden. Im ersten Fall kannst du es über ein gewöhnliches Riemannintegral berechnen, im zweiten Fall als Summe (oder auch Reihe), und im dritten Fall entsprechend als Summe von Integral und Reihe.

Stimmt wohl; für die ersten beiden Fälle kamen entsprechende Hilfssätze später in der Vorlesung (habe heute die Mitschrift nachbearbeitet). Leider wurde bisher weder über Fall 3 noch über die gemeinsame Verteilung von einer diskreten und einer Verteilung mit Dichte gesprochen.
Danke für die knappe Verdeutlichung des Pragmatismus'.

Zitat:
Falls dir ein anderes Integral begegnet, was sich auch durch keine Transformation auf diese drei Typen reduzieren lässt - was durchaus vorkommen kann, aber wie gesagt sehr selten ist - dann her damit: Da muss man sich eben speziell was ausdenken. Augenzwinkern

Das klingt fair. Aber nein, sowas hat uns noch nicht ereilt. smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Akerbos
Leider wurde bisher weder über Fall 3 noch über die gemeinsame Verteilung von einer diskreten und einer Verteilung mit Dichte gesprochen.

Zu diesem Fall gibt's ja auch nicht viel zu sagen:

,

wenn der absolutstetige und der diskrete Anteil des Maßes ist. Damit erübrigt sich eine Extrabetrachtung der Berechnung für diesen "Mischfall". Augenzwinkern
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, gut, danke. Dann ist das den Mathematikern im Saal vermutlich klar. Uns fehlen solche "Selbstverständlichkeiten" aus der Maßtheorie leider, was öfter mal zu unnötigen Komplikationen führt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnen wir doch mal ein einfaches Beispiel:

Sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße , d.h. mit Verteilungsfunktion



Aus der basteln wir eine Zufallsgröße , die unten bei 1 und oben bei 2 abgeschnitten wird, definiert durch . Von der wollen wir etwa den Erwartungswert bestimmen.

Zunächst widmen wir uns da der der Verteilungsfunktion von . Es ist im Fall , und das Abschneiden äußert sich dann so:

,

d.h. man hat zwei "Sprünge" bei und , das ist der diskrete Anteil. Daher hat man das Verteilungsmaß mit dikretem Anteil und stetigem Anteil . Bei letzterem ist die Dichte bzgl. des eindimensionalen Lebesguemaßes .

Nun endlich zum Erwartungswert:

Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, danke!

Zitat:
Original von Arthur Dent
mit dikretem Anteil

Wie kommst du hierauf? Also, wie ermittelst du das Maß für die Sprungstellen?

Zitat:

Das ist sicher keine triviale Aussage, oder?

Die abschließende Rechnung schaue ich mir nochmal in wacherem Zustand an smile
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