Vektorgeometrie (Maturavorbereitung)

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gaertner_jan Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorgeometrie (Maturavorbereitung)
So, wie versprochen Steve, hier die Maturaaufgaben. 1a,b habe ich mit mehr oder weniger Problemen geloest, mit c weiss Ich noch nichts anzufangen. Die uebrigen habe ich noch nicht begonnen.



P.S. Loesungen habe Ich auch keine, sonst waere Ich ja nicht hier Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

cool, danke Jan

nur: man kann fast nichts erkennen...

aber das lösen wir dir schon Augenzwinkern

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

auf dem ersten blick sieht das ja recht einfach aus...

brauchst den normalen vektor zur ebene, der auch durch die kegelspitze geht. somit haste den mittelpunkt der kegelgrundfläche, also auch den radius. der größte abstand von P zu Q ist der durchmesser (radius mal 2) ....

gruß,

jama
gaertner_jan Auf diesen Beitrag antworten »

He, gute Idee! Solche fehlen mir leider meistens traurig

Werde ich nacher noch durchrechnen!

Danke, Jan
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Damit fangen wir gerade erst an Augenzwinkern

Also wirst du dich zunächst mal an Jama und Steve halten müssen. Aber dann... smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ok, bei der vergrösserten Version siehts besser aus Augenzwinkern

c) P hast du berechnet, oder?
wir haben das zwar noch nicht gehabt, aber ich glaube, den Punkt könnte ich auch berechnen.
Dann nimmst du den Punkt der Spitze des Kegels, hängst da den Normalvektor der Ebene dran nimmst nen Parameter und du hast ne Gerade, die du mit der Ebene schneiden kannst. Dann kannst du den Mittelpunkt des Kreises berechnen. Und dann machst du nen Vektor von P zu M und verdoppelt den und hängst ihn an P an und du kommst auf Q...

(andere Formulierung von Jamas Lösung)

Aufgabe 2)

a) Fläche eines Dreieckes kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Zwei Vektoren, dann den Betrag des Kreuzproduktes (= vektorielles Produkt) und man hat die Fläche, des Parallelogrammes, das diese beiden Vektoren aufspannen. Für die Fläche des Dreieckes einfach den Betrag halbieren:
Vektor1 = PQ = (-4 | 3 | 2)
Vektor2 = PR = (1 | -2 | 2)

Kreuzprodukt = vektorielles Produkt: ( 10 | 10 | 5 )
Betrag daraus ist 15 => A (PQR) = 7.5

b)
Volumen einer 3-seitigen Pyramide = 1/3 * G * h

G = 7.5
Jetzt muss man einen Höhe finden, die dann in der Formel ein Volumen von 75 liefert => 75 = 1/3 * 7.5 * h
75 = 2.5 * h
h = 75/2.5 = 150/5 = 30

wir haben also eine Ebene, auf der das Dreieck liegt. Deren Gleichung lautet:
10x + 10y + 5z = 0*10 + 0*10 + 0*5
ich hab hier einfach den Punkt P eingesetzt um die Ebenengleichung zu erstellen (der Normalvektor ist ja durch das Kreuzprodukt schon gegeben, also ist die Ebene bekannt):
10x + 10y + 5z = 0

Dann nehmen wir einen Punkt der 30 LE von der Ebene entfernt ist:
P liegt auf der Ebene. Nun hängen wir den Normalvektor so an, dass er einen Betrag von 30 hat.
Aktuell hat er eine Länge von 15, also nehmen wir ihn doppelt:
2* Normalvektor = ( 20 | 20 | 10)
Punkt X = P + ( 20 | 20 | 10)
X = (0 | 0 | 0) + ( 20 | 20 | 10)
X = ( 20 | 20 | 10)

Jetzt muss man nur noch die Ebene erstellen, die parallel zur ersten Ebene ist und durch diesen Punkt verläuft:
10x + 10y + 5z =10*20 + 10*20 + 5*10
10x + 10y + 5z = 450
2x + 2y + z = 90

jetzt haben wir also die zweite Ebene und Aufgabe 2b ist somit auch gelöst Augenzwinkern

den Rest möchte vielleicht sonst jemand lösen, ansonsten mach ich das mal :P

mfg

EDIT:
@Jan: sei doch ehrlich bei der Herkunft:
auch wenn du ein Deutscher bist, darf du schreiben, dass du in Liechtenstein wohnst...dann fällt ein besseres Licht auf mich, da ich einen User angeworben habe geschockt
 
 
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ich poste schon mal den lösungsansatz für aufgabe 3:

die gerade durch SM ( Big Laugh ) entspricht dem normalenvektor von der ebene abcd. somit kannste schon mit M und dem normalenvektor die ebenengleichung aufstellt. die gerade durch SP schneidet die ebene abcd in A. C liegt auf der geraden durch AM mit demselben abstand von der strecke AM. um B und D zu erhalten musst du senkrecht zu AC eine gerade innerhalb der ebene ABCD durch den punkt M bilden. dabei kann man folgendermaßen vorgehen: spann mit den vektoren AM und MS und 0M eine ebene auf. bilde zu der ebene einen normalenvektor durch den punkt M. bestimme die punkte B und D am normalen"gerade" genau wie du C bestimmt hast. voila smile

kann sein, dass es auch andere / einfachere lösungswege gibt. der fällt mir aber so auf anhieb ein.

gruß,

jama
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätts auch so gemacht...
für den Punkt A gibts aber auch noch ne andere Möglichkeit.
Man kann den per Trigonometrie berechnen:
SM ist Rechtwinklig zu AM
SM ist die Länge gegeben und den Winkel zwischen SM und SP kann man berechnen.
Dann hat man eine Seite und 2 Winkel und kann die restlichen Seiten berechnen und so die Länge des Vektors von SA berechnen und den Vektor SP zu der Länge umformen und an S anhängen Augenzwinkern
ist aber etwas komplizierter.

Die Aufgabe 4 kann ich nicht lösen, da ich die Theorie der Kugeln noch nicht kann...

mfg
jama Auf diesen Beitrag antworten »

guter einfall für den punkt a Augenzwinkern

ich schau mir mal aufgabe 4 an...

4a: A und B haben zu M jeweils denselben abstand. 2 koordinaten von m haben wir auch schon x = 0 und y = 0. damit lässt sich das relativ einfach ausrechnen und wir haben mittelpunkt und radius auf einen schlag.

(betrag von vektor AM mit dem betrag von vektor BM gleichsetzen und nach z auflösen)

4b ist schon schwieriger. ich kann mir im moment nur eine mögliche kugel vorstellen, aber die reden ja von einer kugelschar.... verwirrt ach so... die die ich mir vorstellen konnte, war auch die kleinst mögliche.... erst einmal muss man zeigen, dass die gerade durch AB weder parallel zur z-achse ist, noch die z-achse schneidet, sondern windschief ist. wenn sie nicht parallel wäre, gebe es unendlich viele ergebnisse und im falle eines schnittpunktes, gäbe es zu jeder möglichen kugel eine noch kleinere.
wenn du das gezeigt hast, musst du dir vorstellen können, wo die kleinste kugel die gerade AB berührt: nämlich dort wo die Strecke M zu Berührungpunkt senkrecht zur gerade AB und zur z-achse steht.

-> errechne einfach mit der gerade AB und dem richtungsvektor von der z-achse (0;0;1) den normalenvektor. sobald du den hast, kannst du eine geradengleichung für die gesuchte strecke aufstellen:

ortsvektor: (0;0;z) .... du weißt ja nicht genau, wo der punkt ist.
richtungsvektor: normalenvektor

setz diese geradengleichung mit der von AB gleich und du erhältst den berührungspunkt + den mittelpunkt.

wenn du fragen hast, stell sie einfach. Augenzwinkern

@steve: das ist ungefähr das prinzip, wie die andere aufgabe mit der kugel gelöst wird. du siehst, die kugelgleichung ist nicht so von bedeutung. du brauchst ja nur mittelpunkt und radius zu berechnen (bzw. die länge der strecke mittelpunkt - berührungspunkt) und schon hättest du die gleichung :P


gruß,

jama
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