Körper mit 4 oder 6 Elementen

22.11.2008, 18:16

Huskypaw

Körper mit 4 oder 6 Elementen

Gibt es einen Körper mit genau 4 Elementen? Falls ja, wie schauen die Verknüpfungstafeln eines solchen Körpers aus?

Gibt es einen Körper mit genau 6 Elementen? Falls ja, wie schauen die Verknüpfungstafeln eines solchen Körpers aus?

22.11.2008, 18:34

Akerbos

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Es gibt für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ einen Körper, der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elemente hat.

Ich weiß nicht, ob ich jetzt zu viel helfe; Stichwort: Erweiterungskörper über Polynomringen.

23.11.2008, 00:54

Reksilat

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Zitat:

Original von Akerbos
Es gibt für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ einen Körper, der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elemente hat.

Unsinn! Körperordnungen sind immer Primzahlpotenzen.

Kann man sogar alles bei Wikipedia nachlesen, inclusive Bastelanleitung für $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_4 \end{eqnarray*}$ : klick

23.11.2008, 01:00

Akerbos

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Hupps, falsch erinnert. Hammer

Schande über mich.

Die zweite Zeile meines Posts wird dadurch zum Glück nicht beinträchtigt.

Edit: [klugschiss]Zumindest für endliche Körper hast du recht, ja Lehrer

[/klugschiss]
Augenzwinkern

24.11.2008, 10:06

Nubler

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körper mit 4 elementen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \text{adjungiert} {\epsilon} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ als nullstelle des $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ -polynoms $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
(is irreduzibel)

die elemente:
$\begin{eqnarray*} 0; 1; \epsilon; 1+\epsilon \end{eqnarray*}$
über obige reduktionspolynom kannste dir dann die tafeln erstellen

6 elemente:

müsste wie oben gehen, nur statt $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ als grundkörper für die erweiterung nehmen und als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eine nullstelle von x²+1

damit kannste dann dir die tafeln bauen

24.11.2008, 11:02

Abakus

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Zitat:

Original von Nubler
6 elemente:

müsste wie oben gehen, nur statt $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ als grundkörper für die erweiterung nehmen und als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eine nullstelle von x²+1

damit kannste dann dir die tafeln bauen

Versuche es besser zu widerlegen:

Zitat:

Original von Reksilat
Körperordnungen sind immer Primzahlpotenzen.

Grüße Abakus smile

24.11.2008, 12:13

Huskypaw

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Soll das jetzt heißen, es gibt doch einen Körper mit 6 Elementen? Kann mir der Vorgänger von Abakus die Sache mit Epsilon und der adjungierten erklären? Nach welcher Regel bilde ich ein solches Polynom?

24.11.2008, 14:35

Reksilat

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Himmelherrgottnochmal! Lies Dir durch was hier geschrieben wird! böse

Es gibt keinen Körper mit sechs Elementen, da Körperordnungen immer Primzahlpotenzen sind. (Zumindest bei endlichen Körpern Augenzwinkern

)

Ansonsten gibt es nochmal den Link, den Du oben offensichtlich ignoriert hast:
http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper

Du kannst auch bei Google "Körper mit 4 Elementen" eingeben

Oder die Boardsuche verwenden:
klick1
klick2
klick3
klick4

Ich jedenfalls bin der Meinung, dass ein genügend behandeltes Thema nicht besser wird, wenn man die hundertste Erklärung hinzufügt. (Stichwort: Eigeninitiative!)

24.11.2008, 14:49

Huskypaw

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Eben, mich irritierte das Herumdiskutiere. Auch ich bleibe dabei, dass es keinen Körper mit 6 Elementen gibt, aber einen mit 4. Und wie man so einen konstruiert, ist jawohl klar! Von meiner Seite aus könnte der Thread dann geschlossen werden..

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